Função quadrática: a função geral de 2º grau

Uma quadra esportiva tem a forma retangular, com 40 m de comprimento e 20 m de largura. O clube pretende ampliá-la. Para isso, vai construir em volta dela uma faixa de largura constante.

Obter a expressão que permite calcular a Área da quadra esportiva? A = (40 + 2x).(20+2x) ⇒ A = 800 + 80x + 40x + 4x2 ⇒ A = f(x) = 4x2 + 120x + 800

Função quadrática ou função de 2º grau é toda função do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c Sendo a, b e c são constantes reais, com a ≠ 0. O Domínio de toda função quadrática é IR.

Exemplos y = f(x) = x2 + 3x – 1 é uma função quadrática com a = 1 e b = 3 e c = –1. y = f(x) = –x2 + 5 é uma função quadrática com a = –1 e b = 0 e c = 5. y = f(x) = –2x2 + 4x é uma função quadrática com a = –2 e b = 4 e c = 0. y = f(x) = x2 é uma função quadrática com a = 1 e b = 0 e c = 0.

Funções quadráticas elementares. y = x2 e y = –x2 Nas duas funções, b = c = 0. Na primeira a = 1; na segunda a = –1. Domínio é o conjuntos dos números reais (R).

Veja seus gráficos y = x2. Im = [0, +∞[ Mínimo = 0 x y = x2 –2 4 –1 1 5 y = x2 x y = x2 4 –2 4 3 –1 1 2 1 x 1 1 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –1 2 4 –2 Im = [0, +∞[ Mínimo = 0

Veja seus gráficos y = – x2. Im = ]– ∞, 0] Máximo = 0 x y = – x2 –2 –2 – 4 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –1 – 1 –1 –2 –3 1 – 1 –4 y = – x2 2 – 4 Im = ]– ∞, 0] Máximo = 0

A análise das duas últimas figuras nos sugere um caso geral em relação a todas as funções quadráticas do tipo y = f(x) = ax2 + bx + c. Os gráficos de funções quadráticas são curvas chamadas parábolas. O ponto mais alto ou mais baixo da parábola é chamado de vértice. A reta vertical que passa pelo vértice é chamada de eixo da parábola. Se a > 0 a concavidade da parábola é voltada para cima. Se a < 0 a concavidade da parábola é voltada para baixo.

Veja um resumo. a > 0 a < 0 V V eixo da parábola

eixo de simetria da parábola V A A1 r1 B B1 r2 C C1 r3 D D1 r4

Funções quadráticas em que b = c = 0. (y = ax2)

1º. Caso: a > 0 Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. y = x2 Mínimo = 0 y = 2x2 y = x2 1 2 ⇓ x Im = [0, +∞[ Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. O vértice das três parábolas é a origem do plano.

2º. Caso: a < 0 Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. y = –x2 x Máximo = 0 y = –2x2 y = x2 –1 2 ⇓ Im = ]–∞, 0] Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. O vértice das três parábolas é a origem do plano.

Funções quadráticas em que b = 0 c ≠ 0 (y = ax2 + c)

Os gráficos das funções do tipo y = ax2 + c, com a ≠ 0 e c ≠ 0, são obtidos a partir do gráfico de y = ax2. Desloca-se esse último para cima ou para baixo, conforme o coeficiente c seja positivo ou negativo, respectivamente.

1º. Caso: a > 0 Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. y = x2 Im = [0, +∞[ y = x2 + 2 Im = [2, +∞[ 2 y = x2 – 1 Im = [–1, +∞[ x –1 Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. O vértice das três parábolas são os pontos V (0, 0), V(0, 2) e V(0, –1).

2º. Caso: a < 0 Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. 1 y = –x2 Im = ]– ∞, 0] x y = –x2 + 1 Im = ]– ∞, 1] –2 y = – x2 – 2 Im = ]–∞, –2] Observe que o eixo das três parábolas é o eixo y. O vértice das três parábolas são os pontos V (0, 0), V(0, 1) e V(0, –2).

Funções quadráticas em que b ≠ 0 (caso geral)

Vamos analisar, agora, o caso mais geral da função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c. É o caso em que o coeficiente b é diferente de 0. Para b ≠ 0, o vértice não fica mais sobre o eixo y das ordenadas.

Caso geral: b ≠ 0 Vamos obter o valor de k, abscissa de Q. f(x) = c y Vamos obter o valor de k, abscissa de Q. f(x) = c ⇒ f(x) = a.x2 + b.x + c = c ⇒ a.x2 + b.x = 0 (0, c)P Q(k, c) ⇒ x(a.x + b) = 0 yv V ⇒ x = 0 x ou a.x + b = 0 xv k ⇒ x = 0 ou x = – b/a x = 0 é a abscissa de P, logo k = –b/a. xV = –b 2a Devido à simetria da parábola, xV = k/2 ⇒

Ordenada do vértice A ordenada do vértice pode ser obtida calculando-se f(xV), ou seja, a imagem da abscissa do vértice da função. Veja f(x) = ax2 +bx +c f(xV) = a(xV)2 +bxV +c = a(–b/2a)2 +b(–b/2a) +c f(xV) = a(b2/4a2) – b2/2a +c = b2/4a – b2/2a +c f(xV) = (b2 – 2b2 +4ac)/4a = (– b2 +4ac)/4a f(xV) = –(b2 – 4ac)/4a yV = – 4a f(xV) = yV = – /4a

No caso, essa ordenada é O mínimo da função (a > 0) O máximo da função (a < 0) y y V yV yV V x x ⇒ Im = [yV, +∞[ ⇒ Im = ]–∞, yV]

Exemplos Para a função quadrática y = f(x) = 2x2 – 8x + 5 de R em R, obter o vértice, o máximo ou mínimo e o conjunto imagem. Os coeficientes são: a = 2; b = – 8 e c = 5 Como a > 0, a parábola tem concavidade para cima e a função admite um valor mínimo. xV = –b 2a –(–8) A abscissa do vértice é: = = 2 2.2 O mínimo da função ocorre para x = 2. y = f(2) = 2 . 22 – 8 . 2 + 5 = –3 V (2, –3) Im = [–3, +∞[

Veja o gráfico da função Eixo y = 2x2 – 8x + 5 y 5 x 1 2 3 4 –1 Im = [–3, ∞[ –3 V

Exemplos Para a função quadrática y = f(x) = –x2 + 3x + 1 de R em R, obter o vértice, o máximo ou mínimo e o conjunto imagem. Os coeficientes são: a = – 1; b = 3 e c = 1 Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e a função admite um valor máximo. xV = –b 2a –(3) A abscissa do vértice é: = = 3/2 2.(–1) O mínimo da função ocorre para x = 3/2. y = f(3/2) = –1 . (3/2)2 + 3 . 3/2 + 1 = 13/4 V (3/2, 13/4) Im = ]–∞, 13/4]

Veja o gráfico da função Eixo y = –x2 + 3x + 1 y V 13/4 3 1 x 1 3/2 2 3 Im = ]–∞, 13/4]

Exemplo Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. A função h(t) = –5t2 + 30t + 80 é quadrática, com a = –5, b = 30 e c = 80. Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e a função admite um valor máximo.

Exemplo Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. A) O instante em que o objeto atinge a altura máxima é a abscissa do vértice: –(30) –b t = = = 3 s 2a 2.(–5)

Exemplo Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. B) A altura máxima é o valor da função em t = 3 s. h(3) = –5.32 + 30.3 + 80 = 125 m

Exemplo Um objeto é atirado para cima, da janela situada no alto de um prédio de 80 m de altura. Sua velocidade inicial é de 30 m/s. A altura h do objeto em relação ao solo, em metros, t segundos após o lançamento, é h(t) = 80 + 30t – 5t2. Obter: A) o instante em que o objeto atinge a altura máxima; B) a altura máxima que ele atinge; C) o instante em que ele atinge o solo. C) No instante em que o objeto atinge o solo, deve ser h(t) = 0. h(t) = 0 ⇒ –5t2 + 30t + 80 = 0 ⇒ t2 + 6t – 16 = 0 ⇒ t = –2 ou t = 8 ⇒ t = 8 s

Veja o gráfico da função h(t) = –5t2 – 30t + 80 h (m) 125 80 3 8 t (s)

Raízes da função quadrática

Já sabemos que as raízes de uma função real y = f(x) são os valores de x tais que y = 0. São as abscissas dos pontos em que o gráfico de f corta o eixo das abscissas. Na função quadrática y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), achar as raízes significa resolver a equação de 2º grau f(x) = 0.

Número de raízes da equação de 2º grau Para resolver uma equação de 2º grau usamos a fórmula de Bhaskara sendo  = b2 – 4ac O número real  é o discriminante da equação. O valor dele indica se a função tem ou não raízes reais.  > 0 ⇔ tem duas raízes reais distintas.  = 0 ⇔ tem duas raízes reais iguais (ou 1 raiz real dupla).  < 0 ⇔ não tem raízes reais.

Exemplos Obter as raízes, esboçar o gráfico e estudar os sinais da função y = 3x2 – x – 2. O discriminante da função é  = b2 – 4ac ⇒  = (–1)2 – 4.3.(–2) ⇒  = 25 Raízes: x’ = 1 ou x” = –2/3 ⇒ A parábola corta o eixo x em (1, 0) e (–2/3, 0) Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima. O coeficiente c =–2, indica que a parábola corta o eixo y no ponto (0, –2)

Veja o gráfico da função y y = 3x2 – x – 2 –(–1) y > 0 y > 0 –b xV = = = 1/6 1/6 x 2a 2.(3) –2/3 1 y < 0 Raiz Raiz x y –2/3 1 –2 1/6 –25/12 –2 –25/12 y > 0 para x < –2/3 ou x > 1. y < 0 para –2/3 < x < 1.

Exemplos Na função quadrática y = x2 + 2x + 3, mostrar que y > o para todo x real. O discriminante da função é  = b2 – 4ac ⇒  = (2)2 – 4.1.(3) ⇒  = –8  < 0, a função não tem raízes reais, logo a parábola não corta o eixo x. Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima. O coeficiente c = 3, indica que a parábola corta o eixo y no ponto (0, 3)

Veja o gráfico da função y = x2 + 2x + 3 y –b –2 xV = = = –1 2a 2.(1) 3 x y 2 3 + + + + + + x –1 2 –2 –1 –2 3 y > 0 para todo x real.

Exemplos A função y = –x2 + 4x + k, tem duas raízes reais iguais. Calcular a constante k, obter a raiz dupla e esboçar o gráfico da função. Se a função tem uma raiz dupla  = 0. b2 – 4ac = 0 ⇒ (4)2 – 4.(–1).k = 0 ⇒ 16 + 4k = 0 ⇒ k = –4 A função é y = –x2 + 4x – 4, tem concavidade para baixo. A raiz dupla é –b/2a = 2. ⇒ A parábola intercepta o eixo x em (2, 0). c = –4, indica que a parábola corta o eixo y no ponto (0, –4)

Veja o gráfico da função y = –x2 + 4x – 4 y x y 2 –4 4 Raiz 2 4 x –4