Ensino Superior Cálculo 2 2.1- Integral Definida Amintas Paiva Afonso

Integral Definida Determinar uma área sob a curva de uma função (que se traduz na operação conhecida como integral definida), é um procedimento que guarda estreitas relações com a operação de desvendar a primitiva de uma função (integral indefinida). Vamos procurar entender o procedimento que possibilita este cálculo. Na antiguidade o cálculo da área de certas figuras era obtido por aproximação. A área de uma figura mais complexa era determinada a partir do cálculo de áreas de figuras mais simples.

Integral Definida Método de Exaustão de Arquimedes Por volta de 400 a.C. Eudoxo geometrizou a técnica que Arquimedes chamou de método de exaustão. O método consiste em exaurir (preencher) a figura que se quer calcular a área com polígonos regulares. Quanto maior for número de lados do polígono, maior será a convergência entre a área do polígono e a da figura. Vamos aplicar esse método para calcular a área do círculo.

Integral Definida Método de Exaustão de Arquimedes ... Para um polígono de n=4 lados Para um polígono de n=6 lados Para um polígono de n=8 lados

Integral Definida Método de Exaustão de Arquimedes Seja An a área do polígono Pn. Então, An = n.At;

Integral Definida Método de Exaustão de Arquimedes O perímetro do polígono é pn=n.bn; A área total é dada por:

Integral Definida Método de Exaustão de Arquimedes No caso acima n=8, mas se n cresce cada vez mais, isto é, n, o polígono Pn vai se aproximando cada vez mais do círculo; Enquanto o perímetro Pn se aproxima do comprimento do círculo (que é 2r), a altura hn vai se aproximando do raio r. Logo, em termos matemáticos, isto é traduzido da seguinte maneira:

Integral Definida Área sob uma curva Para determinar a área de uma figura plana qualquer, procedemos de modo análogo. Considere então o problema de definir a área de uma região plana S, delimitada pelo gráfico de uma função contínua, conforme o gráfico abaixo: S

Integral Definida Área sob uma curva Especificado o intervalo [a,b], procedemos a divisão em n subintervalos onde os pontos a = x0 e b = xn.

Integral Definida Área sob uma curva xi = xi - xi-1 é o comprimento de cada intervalinho [xi-1, xi]. Esse intervalo pode ser tão pequeno quanto se queira e o ponto médio desse intervalo é definido por ci.

Integral Definida Área sob uma curva A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn, é dada por: Também neste caso, podemos observar que a medida que n cresce muito e cada xi torna-se muito pequeno, a soma das áreas retangulares aproxima-se da área sob a curva da função y=f(x). Em termos matemáticos, traduzimos isto, assim:

Integral Definida Área sob uma curva Definição Seja y = f(x) uma função contínua no intervalo [a,b]. A área sob a curva de f(x) é definida por: A integral definida está associada ao limite da definição acima. Definição Seja f uma função definida no intervalo [a,b] e P uma partição qualquer de [a,b]. A integral definida de “a” até “b” denota-se por:

Integral Definida Área sob uma curva Se existe, dizemos que f é integrável em [a,b]. Quando a função f é contínua e não-negativa em [a,b], a definição da integral definida coincide com a definição da área. Portanto, neste caso, a integral definida é a área da região sob o gráfico de f de “a” até “b”. Observação: sempre que utilizamos [a,b] supomos a < b. Se a>b, então se a integral à direita existir; Se a=b e f(a) existir, então,

Integral Definida Propriedades 1) k.f(x) é integrável em [a,b] e 2) 3) 4) f(x) + g(x) é integrável e 5) 6) Se f(x)  g(x) e a  b, então

Integral Definida Teorema Fundamental do Cálculo Se F(x) é uma primitiva de f no intervalo [a,b], então:

Integral Definida Exemplo Calcule a área da região sob o gráfico da função f(x) = x - x2.

Integral Definida Uma vez que f(x)0 no intervalo [0,1], a área A da região sob seu gráfico é dada por: Além disso a função é contínua nos reais e, portanto, possui primitiva, que neste caso é: Pelo TFC, temos então que:

Integral Definida Bibliografia utilizada: Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person Education. São Paulo, 1992. Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São Paulo, 2006. Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006. Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. Springer-Verlag. New York, 1979. Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover, 1990.