1) OPERAÇÃO COM ÂNGULOS 38o 29’ 51’’ + 15o 45’ 24’’ 38o 29’ 51’’ COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO 1) OPERAÇÃO COM ÂNGULOS 38o 29’ 51’’ + 15o 45’ 24’’ 38o 29’ 51’’ + 15o 45’ 24’’ 53º 74’ 75’’ 54º 15’ 15’’

2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO 2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS Ângulo agudo:   90º Ângulo reto:  = 90º  > 90º Ângulo obtuso: Ângulo raso:  = 180º

2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO 2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS Ângulo nulo:  = 0o (lados coincidentes)  = 360o Ângulo de 1 volta: Mesmo vértice e um lado comum entre os lados não comuns Ângulos adjacentes: Mesmo vértice e, dois a dois, um lado comum. Ângulos consecutivos:

2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO 2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS   Ângulos complementares:  +  = 90º    +  = 180º Ângulos suplementares: Ângulos replementares:    +  = 360º

3) ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL. COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO 3) ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL. r s a b c d e f g h t Correspondentes: a e e; d e h; b e f; c e g. Opostos pelo vértice: a e c; b e d; e e g; f e h. Alternos internos: d e f; c e e. Alternos externos: a e g; b e h. Colaterais internos: d e e; c e f. Colaterais externos: a e h; b e g.

Questão 3: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO (UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo. Este ângulo mede: a) 45o b) 48o 30’ c) 56o 15’ d) 60o e) 78o 45’

Questão 3: Solução: 630º 8 6º 78º 360º 8 0 45’ COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO Questão 3: Solução: O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo. 630º 8 6º 78º x 60’ 360º 8 0 45’

Questão 13: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO (UF-ES) Se as retas r e s da figura abaixo são paralelas então 3 +  vale: 225o 195o 215o 1750 1850  

Questão 13: Solução: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO Questão 13: Solução: = 45º  = 60º 15º 30º 30º 60º 60º

Questão 16: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO (UF-MG) Na figura, AC = CB = BD e A = 25o. O ângulo x mede: 50o 60o 70o 75o 80o  

Questão 16: Solução: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO Questão 16: Solução: AC = CB = BD 50º 50º 130º 80º 25º 75º

1) POLÍGONOS CONVEXOS E NÃO-CONVEXOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS 1) POLÍGONOS CONVEXOS E NÃO-CONVEXOS CONVEXO NÃO-CONVEXO

2) SOMA DOS ÂNGULOS Si = (n – 2).180o COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS 2) SOMA DOS ÂNGULOS n = 3 1 x 180º Si = 180º n = 4 2 x 180º Si = 360º n = 5 3 x 180º Si = 540º Si = (n – 2).180o

2) SOMA DOS ÂNGULOS Se = 360o COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS 2) SOMA DOS ÂNGULOS       Se = 360o

3) NÚMERO DE DIAGONAIS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS 3) NÚMERO DE DIAGONAIS no de diagonais determinadas a partir de 1 vértice: (n – 3) no de diagonais de um polígono c/ n lados:

Questão 2: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS (CESCEM-adaptada) Se ABCDE é um polígono regular, então a soma dos ângulos assinalados na figura é:   90o 120o 144o 154o 180o

Questão 2: Solução: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS Questão 2: Solução: 180º – C – E 180º – B – D 180º – A – D 180º – A – C 180º – B – E 180 – A – C + 180 – B – D + 180 – C – E + 180 – A – D + 180 – B – E = 540 2A + 2B + 2C + 2D + 2E = 360 2.(A + B + C + D + E) = 360 (A + B + C + D + E) = 180º

Questão 4: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS (ESAF/2006) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a:  11 12 10 15 18  

Questão 4: Solução: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS Questão 4: Solução: O número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Diagonais a partir de um dos vértices: (n – 3) Diagonais de um hexágono: Então: n – 3 = 9 n = 12

Questão 6: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS No hexágono ABCDEF abaixo, a medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA. 100o 110o 120o 130o 140o  

Questão 6: Solução: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS Questão 6: Solução: A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA. 5x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 – 2).180 5x + 520 = 720 5x = 200 x = 40 x 4x

Questão 6: Solução: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS Questão 6: Solução: A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA. 5x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 – 2).180 5x + 520 = 720 5x = 200 x = 40  20º 80º + 20 + 160 + 80 = 360 = 100º

Questão 8: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS Na figura seguinte, o valor de  é: a) 90o b) 95o c) 100o d) 110o e) 120o  

Questão 8: Solução: COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS Questão 8: Solução: 75º 110º

1) CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 1) CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA Em todo triângulo, qualquer lado é menor que a soma e maior que a diferença entre os outros dois. a b c b - c  a  b + c

2) ELEMENTOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Altura: é o segmento de reta que liga um vértice ao lado oposto, perpendicularmente. Bissetriz interna: é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos de medidas iguais.

2) ELEMENTOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Observação: Teorema da Bissetriz Interna. A bissetriz interna de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados. A B C P

2) ELEMENTOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Mediana: é o segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Mediatriz: é a reta perpendicular a um lado, que o divide em dois segmentos de mesma medida.

2) ELEMENTOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Baricentro: é o ponto de interseção das medianas. OBSERVAÇÃO: O baricentro divide cada mediana na razão 2/3 a partir do vértice.

2) ELEMENTOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Incentro: é o ponto de interseção das bissetrizes. OBSERVAÇÃO: O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Assim, o incentro é eqüidistante dos lados do triângulo.

2) ELEMENTOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Circuncentro: é o ponto de interseção das mediatrizes. OBSERVAÇÃO: O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Assim o circuncentro é eqüidistante dos vértices do triângulo.

2) ELEMENTOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Ortocentro: é o ponto de interseção das alturas.

2) ELEMENTOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS OBSERVAÇÃO: Os três pontos de interseções, baricentro, circuncentro e ortocentro, de uma maneira geral são pontos distintos. Mas em qualquer triângulo, eles estão alinhados (Reta de Euller). Se o triângulo for eqüilátero, os quatro pontos (baricentro, incentro, ortocentro e circuncentro) são coincidentes.

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 2) ELEMENTOS

3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos são semelhantes quando possuem lados homólogos* proporcionais e ângulos respectivamente de mesmas medidas.   * lados homólogos: são lados opostos a ângulos iguais.

3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 50o 2 cm 3 cm 4,5 cm 45o 60o 2 cm 3 cm 4 cm 8 cm 6 cm

4) RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 4) RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO A B C a b c m n h b2 = a.m c2 = a.n h2 = m.n a.h = b.c a2 = b2 + c2

5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER Triângulo Acutângulo: Num triângulo acutângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto de um deles pela projeção do outro sobre ele. A B C b a c m n h a2 = b2 + c2 - 2c.m

5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER Triângulo Obtusângulo: Num triângulo obtusângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, mais duas vezes o produto de um deles pela projeção do outro sobre ele. a2 = b2 + c2 + 2c.n m C A B a b c h n

6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS A B C hipotenusa cateto oposto cateto adjacente 

6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS sen cos tg 30o 45o 60o

7) LEI DOS SENOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 7) LEI DOS SENOS Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.

8) LEI DOS COSSENOS COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS 8) LEI DOS COSSENOS Num triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado. a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 3 (COVEST 2003) Um triângulo com lados medindo 2.1050, 10100 – 1 e 10100 + 1: a) é isósceles b) é retângulo c) tem área 10150 – 1 d) tem perímetro 4.10150 e) é acutângulo

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Solução: O triângulo é retângulo.

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 4 (COVEST 2006) A ilustração a seguir representa uma escada de comprimento 2,5m apoiada em uma parede vertical. A extremidade inferior da escada está a uma distância de 0,70m da parede. Determine a aresta da maior caixa cúbica que pode ser transportada pela região limitada pela escada e pela parede vertical. (Aproxime seu resultado até os centésimos)

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 4 2,4 – x 2,5m x x 0,70m

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 8 (COVEST 2001 – 2ª fase) Na ilustração a seguir, CD é um diâmetro da circunferência com centro em O e raio 8. AC e BD são perpendiculares a AB, e AB é tangente à circunferência em T. Se AB = 12, calcule AO. Solução: 6 6 8 x 8 8

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 12 (Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é bissetriz do ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo interno Â. 60o 70o 800 90o 100o

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS OBSERVAÇÃO:  x       x +  =  +   =  +  x +  =  +  +  x = 2.

X COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 12 (Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é bissetriz do ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo interno Â. 60o 70o 800 90o 100o X

X COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 13 (COVEST 2001) Na figura abaixo, BC e AC são bissetrizes dos ângulos DBE e DAB, respectivamente. Se o ângulo ACB mede 21o 30’, qual é a medida, em graus, do ângulo ADB? X 43 41 40 44 42

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 17 (UCSal/93-adaptada) Na figura abaixo têm-se o triângulo ABC, cujo perímetro é 26cm. O losango ADEF, cujos lados medem 4cm. Se BC mede 8cm, os outros dois lados do triângulo ABC medem: 5 e 13 6 e 12 7 e 11 8 e 10 9 e 9

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Solução: x + y = 10 4 4 x 4 4 y 8 x = 8 e y = 2 Os lados valem 6cm e 12cm

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 18 (Vunesp) Do quadrilátero ABCD de figura, sabe-se que os ângulos internos de vértices A e C são retos; os ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45º e 30º; o lado CD mede 2dm. Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm:

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS OBSERVAÇÃO: 30o cat. oposto hipotenusa cat. adjacente

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS OBSERVAÇÃO: 8 10 4 5 30o 30o 4. 3 5. 3 12 14 6 7 30o 30o 6. 3 7. 3

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Solução: 2 2 .3 = 6 2. 2 30o 45o

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 19 (UFBA/93-adaptada) Considere o triângulo eqüilátero ABC, com lado medindo 6cm. Seja M o ponto médio do lado AC, e seja P o ponto do lado BC tal que PB = 2cm. Sendo x cm2 a área de um quadrado de lado MP, determine x.

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Solução: A C B M 6 3 2 4 P 60o x

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Questão 20 (UnB-DF/adaptado) Na figura abaixo, calcule a medida do ângulo AMD, sabendo que M é o ponto médio de BC. 15o 20o 30o 40o 50o

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS OBSERVAÇÃO:   

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS Solução: 50o 60o 40o 20o 20o 60o 80o