Lógica e Especificação Edward Hermann Haeusler Departamento de Informática TECMF PUC/RJ

Qual a relação entre a Lógica e a Computação ? - O que é a (Teoria da) Computação ? Tentativa de conceituação do Computável - O que é Lógica ? Tentativa de conceituação do Razoável

Computável Tudo aquilo que pode ser realizado por um ser burro com um mínimo de conhecimento/capacidade. burro = Incapaz de Aprender conhecimento = ?

Razoável Todo evento que é passível de uma explicação, na forma argumentativa, construída sobre fatos iniciais inquestionáveis.

Computável = Razoável ? - Computável É Razoável ? - Razoável É Computável ?

Como Definir tais Conceitos ? Através de Linguagens para : Expressar Procecimentos Expressar Argumentos

Principais Componentes de uma Linguagem - Sintaxe : Como se escreve ? - Semântica : O que significa ? - Pragmática : Como se usa ?

Em uma L.P. - Como é um programa ? - Como se executa ou, O que um programa faz ? - Como se constroem programas visando a solução de problemas ?

Semântica

Linguagem e Metalinguagem - Precisa-se de uma linguagem para descrever outra linguagem. À linguagem descritora chamamos de metalinguagem enquanto à descrita chamamos de linguagem objeto. -

Paradoxos 1. Eu sou Mentiroso. 2. - O menor denominador comum entre 1/2 e 2/3 é 6. - 1/2 = 2/4 Então o menor denominador comum entre 2/4 e 2/ 3 é 6.

Princípio da Funcionalidade de Frege A Semântica de uma expressão deve ser uma função da semântica das suas sub- expressões. Objetos sintáticos são naturalmente Hierárquicos (estruturados).

Semânticas Extensional X Intensional 1. Planeta Vênus. 2. Estrela Vespertina. 3. Segundo Planeta do Sistema Solar. - Em uma sem. extensional 1,2 e 3 têm o mesmo significado. - Em uma sem. intensional 1, 2 e 3 têm diferentes significados. A forma é levada (sintaxe ?) em conta.

Princípio da Funcionalidade e intensionalidade. 1. Necessariamente a estrela matutina é a estrela matutina. 2. Necessariamente a estrela matutina é a estrela vespertina. Linguagem natural necessita de semântica intensional. Þ

Expressões aritméticas : Sintaxe Semântica Ext. V( (1 + 2) * 5) * ½½ Þ + V( 1 + 2 ) * V( 5 ) 5 ½½ 1 2 V( 1 ) + V( 2 ) * 5 ½½ (1 + 2) * 5 ( 1 + 2 ) * 5 = 15

A Linguagem da Lógica A Lógica tem, tradicionalmente, por objetivo a definição do que seja uma argumentação correta. Argumentação = Sequência de sentenças onde distingue-se premissas e conclusão Sentença = Expressão linguística enunciadora de um pensamento completo.

Exemplos de Sentenças. 1. Salvador é a capital da Bahia. 2. (2 + 3) = 5. 3. Qual o melhor time de futebol do Brasil ? 4. Compile o Programa ! O tipo de sentença de interesse em uma argumentação é a sentença declarativa.

Exemplos de Argumentos Todo homem é mortal. FHC é homem. ------------------------------------- FHC é mortal. Todo homem é animal Todo gato é animal ------------------------------------- Todo gato é homem

Nenhuma caixa tem mais de 156 bombas Há exatamente 136 caixas de bombas em um depósito. Cada caixa contém pelo menos 140 bombas. --------------------------------------------------------------------------- Nenhuma caixa tem mais de 156 bombas Lula é o presidente do Brasil Brasília é a capital do Brasil --------------------------------------------- A lua é um satélite da Terra

Lula é o presidente do Brasil ----------------------------------------------------- Lula é humano e presidente do Brasil Lula é o presidente do Brasil ----------------------------------------------------- Lula é humano ou presidente do Brasil

Alguns paulistas são latinos Alguns paulistas são latinos. Alguns brasileiros são latinos ------------------------------------------- Alguns brasileiros são paulistas Tudo que é raro é caro. Uma casa boa e barata é rara. ------------------------------------------- Uma casa boa e barata é cara. Todo triângulo tem somente 3 lados Todo quadrado é triângulo. ---------------------------------------------------- Todo quadrado tem somente 3 lados.

Argumentos e Solucao de Problemas Tenho 3 esferas visualmente identicas. Entretanto duas tem o mesmo peso, enquanto uma terceira tem peso diferente. Utilizando somente uma balanca de equilibrio, sem pesos marcados, como posso descobrir a esfera diferente e saber se e’ mais pesada ou mais leve ???  Prove que uma das 3 esferas e’ mais pesada ou mais leve

Especificacao, Prova e Solucao de Problemas Os sobrenomes de Ana, Beatriz e Carla são Arantes, Braga e Castro, não necessariamente nesta ordem. A de sobrenome Braga, que não ‘e Ana, ‘e mais velha que Carla e a sobrenome Castro e’ a mais velha das 3. Qual a melhor ordem ? - Resolver, Especificar, Provar - Resolver, Provar, Especificar - Especificar, Resolver, Provar - Provar, Especificar, Resolver - Especificar, Provar, Resolver - Provar, Resolver, Especificar

Em Lógica Matemática Prova Regras de Inferência (Argumentação) formada por Premissas conclusão Regras de Inferência são formada por Sentenças (Argumento) ? conectivos/ Átomos quantificadores Sentenças Compostas

Þ Formalização da linguagem. Como representar os elementos da linguagem lógica tendo por princípio a universalidade ? Þ Formalização da linguagem. Somente conectivos/quantificadores podem possuir significado a priori. Átomos são representados por Letras sentenciais (log. Sentencial). Þ Fórmulas (combinações de átomos via conectivos) representam sentenças em geral.

Da praxis matemática tiramos : Conectivos Da praxis matemática tiramos : · Ù = Conjunção ( "e" lógico) · Ú = · Disjunção ( "ou" lógico) ® = Implicação ( "se ____ então____") · ~ = Negação ( "não lógico ") O significado de cada conectivo pode ser determinado pelas regras que ditam seu uso (Semântica Operacional) O significado de cada conectivo pode ser determinado pelas condições de verdade estabelecidas por ele (Semântica tradicional ou Tarskiana)

Fórmulas · Toda letra sentencial é uma fórmula · Se a e b são fórmulas, então também são fórmulas : - a Ù b - a Ú b - a ® b - ~ a Obs : Parenteses são usados para auxiliar à análise sintática.

Semântica p/ Lógica Clássica Extensional com Valores de "Verdade". · Atribuição arbitrária de valores para as letras sentenciais. · Fórmulas têm seus valores determinados pela interpretacão e pelas funções semân- ticas associadas a cada conectivo. (Interpretação)

Funções na forma de Tabela. Ù Ú V F V F V V F V V V F F F F V F ® V F F  ~ V F V V F F V F V V

® V F  V F V V F V V F F V V F F V

Atribuição de Valores à fórmulas Interpretação : I : Letras -® {V,F} Dada uma interpretação I pode-se definir a denotação associada V: × · V(I, L) = I ( L) se L é letra sentencial. · V( I, a Ù b ) = V(I, a) Ù V( I, b) · V(I, a ® b ) = V(I, a) ® V(I, b) · V(I, a ® ^ ) = V(I, a) ® F = ~ V(I, a)

órmula a é dita satisfatível, sse, existe uma Def. Uma f interpretação que a torna verdadeira, i.e. Existe I , tal que V(I, a) = V Def. Um conjunto de f órmulas é satisfatível, sse, todas as suas fórmulas são satisfatíveis (para a mesma interpretação. Def. Diz-se que uma fórmula é válida, sse, ela é verdadeira sob toda interpretação.

O conceito de conectivo principal. Þ É aquele conectivo que aparece em primeiro plano em uma análise sintá- tica. Exemplos: (A Ù B) Ú (C ® D) ~ (A ® B) (A Ù B) Ù C

Def. Uma fórmula a é dita ser consequência lógica de um conjunto G de fórmulas (G a), sse : - Toda interpretação que "torna" todas as fórmulas de G verdadeiras “torna” a verdadeira. Ex: - { ~~ A} A - {A, A ® B} B - {A Ú B, A ® C, B ® C} C - {A ® B} ~B ® ~A Def.  é equivalente a  sse   e  

Completude funcional da lógica clássica - Pode-se expressar todas os conectivos em função de  e  ?? - Pode-se expressar todas os conectivos em função de  e  ?? - Pode-se expressar todas os conectivos em função de  e ?? - Pode-se expressar todas os conectivos em função de  e ?? - Pode-se expressar todas as funções booleanas (arid. finita) por meio dos conectivos acima ?? - Pode-se expressar todas as funções booleanas (arid. finita) com um conectivo só (novo certamente) ??

Sistemas Dedutivos e Argumentação Formal Def1. Um sistema dedutivo é um mecanismo que permite a construção de argumentos formais Def2. Um sistema dedutivo é um mecanismo que permite estabelecer conclusões a partir de hipóteses. Def3. Um sistema dedutivo é um conjunto de regras (as vezes axiomas) que permite “chegar” a conclusões (sentenças) a partir de hipóteses (sentenças). Def4. Um sistema dedutivo é um conjunto de regras (as vezes axiomas) onde os axiomas são fórmulas válidas e as regras preservam a verdade.

Universalidade da noção de correto O conceito de argumento correto deve ser baseado na forma do mesmo e não em seu significado particular, ou Um argumento é correto quando é invariante sob substituição, i.e., o que importa é o rela- cionamento entre premissas e conclusão e não estas propriamente ditas.

Os sistemas a la Frege/Hilbert Esquemas de Axiomas: (K) A(B A) (S) A (B C)  (A B) (A C) (Cla)  A A Regra: A AB (Modus Ponens) B

Exemplos de Deduções A ((A  A)  A) A ((A  A)  A) ( (A(AA))  (AA)) A(AA) (A(AA))  (AA) AA B (B  A) B (B  A) A  B (B  A) A  B (B  A)

Discussão: 1- O método da “tabela verdade” é um sistema dedutivo ?? 2- O que dizer do sistema dedutivo somente com a regra de modus ponens e como axiomas todas as fórmulas válidas (tautologias) 3- Como comparar sistemas dedutivos ?? 4- O que a prova de um teorema deve nos dizer ?? 5- O que prova de teoremas tem a ver com computação e programação ??

Programa do Curso 1. Linguagem Clássica de Primeira Ordem. Lógica Intuicionista Algebras de Processo Logicas Temporais