Processos Estocásticos EE-240 Probabilidade e Processos Estocásticos

1. Espaço de Probabilidades: É uma Tripla 2. Espaço Amostral: É o conjunto dos resultados possíveis 3. Classe de Eventos: É a classe de sub-conjuntos de que satisfaz: 4. Medida de Probabilidade: É uma função P: tal que, para

5. Probabilidade Condicional: M Exemplo:

5. Probabilidade Condicional: M 6. Fórmula de Bayes:

( ) 7. Independência: tes independen B e A P ® = Ç 8. Variáveis Aleatórias: R

Exemplo: $ -20 +35

9. Função Distribuição de Probabilidade:

9. Função Distribuição de Probabilidade: 10. Propriedades da Função Distribuição: 11. Função Densidade de Probabilidade:

( ) { } 12. Distribuição Condicional de Probabilidade: Exemplo: a F x = £ w Þ Ç > 1 Fx 1 a

13. Funções de uma variável aleatória:

14. Média: fx

14. Média: fx R

14. Média: fx R

15. Estatística conjunta de duas variáveis aleatórias: y x 16. Propriedades de Fx,y:

17. Distribuição Marginal: 18. Independência de Variáveis Aleatórias: As variáveis aleatórias x e y são ditas independentes se, para A,B são independentes, ou seja,

19. Função de duas variáveis aleatórias: z = g(x,y) z y x g(.,.) g(x,y)

19. Função de duas variáveis aleatórias: z = g(x,y) z y x g(.,.) g(x,y) Dz

Conexão Série S1 S2 t2  T2() t t1 T1() Na área sombreada, o sistema conectado em série ficou inoperante antes do instante t

Conexão Paralela S1 S2 t2  T2() t t1 T1() Na área sombreada, o sistema conectado em paralelo ficou inoperante antes do instante t

em configuração stand by ficou inoperante antes do instante t Conexão Stand By S1 S2 t2  t T2() t1 T1() t Na área sombreada, o sistema conectado em configuração stand by ficou inoperante antes do instante t

20. Covariança: 21. Distribuição Normal: x ~ N(m,Q),

22. Processos Estocásticos: Coleção de variáveis aleatórias indexadas por parâmetro t

23. Caracterização de Processos Estocásticos: Para cada t fixo, é uma variável aleatória. Logo, para caracterizar a coleção de variáveis aleatórias, necessita-se de

Caracterização de Processos Estocásticos: Para cada t fixo, é uma variável aleatória. Logo, para caracterizar a coleção de variáveis aleatórias, necessita-se de x t1 x t2 x t3 x t4 x t5

23. Caracterização de Processos Estocásticos: Para cada t fixo, é uma variável aleatória. Logo, para caracterizar a coleção de variáveis aleatórias, necessita-se de 24. Processos Estacionários (no Sentido Estrito) Um processo xt(.) é dito ser estacionário se,

Processo Não-Estacionário Exemplo: 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 Processo Não-Estacionário tempo x

Processo Não-Estacionário Exemplo: 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -4 -2 2 4 6 8 10 Processo Não-Estacionário tempo x

Estacionário no Sentido Amplo 25. Processos Estacionários no Sentido Amplo Um processo xt(.) é dito ser estacionário no sentido amplo se, Estacionário no Sentido Amplo Estacionário no Sentido Estrito

26. Função de Auto-Correlação No caso de processo estacionário no sentido amplo:

Função de Auto-correlação e Densidade Espectral de Potência

26. Função de Auto-Correlação No caso de processo estacionário no sentido amplo: 27. Ruído Branco 28. Ruído Gaussiano

Se x e y são variáveis aleatórias conjuntamente normais de média 0, 26. Ruído Branco Gaussiano Se x e y são variáveis aleatórias conjuntamente normais de média 0, Portanto, no caso do Ruído Branco Gaussiano Padrão Observação: independência  não-correlação não-correlação  independência

Exemplo: Ruído em Sistemas Lineares uk yk hk

uk yk hk * E (.) hi

Processos Estocásticos Exemplos de Processos Estocásticos

Ruído Branco Gaussiano

Ruído Branco Gaussiano Nova Variança

Outlier ?

Novelty ? ?

Alteração Brusca de Tendência

?

Sinal dependente de variável manipulada... y(t) y(t) u(t) S u(t)

Ausência de Resposta pode ser Falha ... y(t) y(t) u(t) S u(t)

Saturação

Modelo AR: y(k)=0.8*y(k-1) + ruído Nova Variança do Ruído

Qual a distribuição do ruído? N(0,2) U(-2,2)

Ruído aumentando com o tempo...

Falhas Intermitentes ...

Muito Obrigado!