Mecânica dos Sólidos EME302 Prof. Ancelotti antonio.ancelotti@gmail.com Sala IEM a definir / ramal a definir

ORIENTAÇÕES GERAIS Horário de Aula - Segunda-feira: 16:40h – 19:40h - Quarta-feira: 13:30h – 15:30h Local: sala I2103 (prédio elétrica) Provas: 2 (1 por bimestre) + 1 exame Datas: Prova 1 (XX/YY) Prova 2 (XX/YY) Exame (XX/YY) Trabalhos: 4 listas de exercícios (2 por bimestre) Para contribuir na nota: 4 exercícios em sala de aula Média final: média da provas somado até 10 pontos (exercícios em sala de aula) Atendimento ao aluno: toda quarta-feira pela manhã no IEM

Orientações Gerais Bibliografia Principal MERIAM,J.L.,KRAIGE L.G. Mecânica - Estática. Quinta Edição, LTC Editora, 2004. BEER, F. P., JOHNSTON, E. R. Resistência dos Materiais. Makron Books, 3a edição, 1995. BEER, F. P., JOHNSTON, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros - Estática. Makron Books, 1994. HIBBLER, R. C. Mechanics of Materials. Printice Hall, 1997

Objetivo Objetivo do Curso: Fornecer ao aluno os fundamentos teóricos necessários para se calcular esforços, tensões e deformações em elementos estruturais do projeto mecânico.

Conteúdo Programático Sistemas de Forças Estática dos Corpos Rígidos Estruturas (Treliças, Pórticos e Máquinas) Centro de Gravidade Momento Estático Momentos e Produtos de Inércia Esforços em Vigas Conceito de Tensão 1 Prova Bimestral

Conteúdo Programático Tensões e Deformações para Cargas Axiais Torção Flexão Pura Flexão Simples Tensões Combinadas Análise de Tensões no Estado Plano 2 Prova Bimestral

Revisão Fatores de Conversão Massa: 1 kg = 2,205 lb 1 kg = 35,27 oz 1 slug= 14,59 kg Comprimento: 1 m = 3,28 ft 1 in = 25,4 mm 1 yd = 0,9144 m 1 milha  1,61 km 1 ft = 12 in

Revisão (lbf/in2)

Revisão PREFIXOS

Revisão Exemplos: Converter 2km/h para m/s e depois para ft/s

Revisão de km/h para m/s: de m/s para ft/s:

Revisão Avaliar expressões em unidades SI com prefixo adequado

Revisão = 300 M N2

Introdução - Conceitos Mecânica dos sólidos é essencial para o projeto e análise de componentes Mecânica é dividida em três grandes áreas: mecânica dos corpos rígidos, dos corpos deformáveis e mecânica dos fluidos A mecânica dos corpos rígidos é dividida em duas áreas: Estática e Dinâmica A Estática lida com equilíbrio dos corpos em descanso ou velocidade constante, ou seja, aceleração nula. A Dinâmica lida com a condição de movimento acelerado de corpos.

Introdução – Conceitos Estática Modelos e idealizações Partícula: corpo que contém massa, mas seu tamanho pode ser negligenciado (simplificação)

Introdução – Conceitos Estática Corpo rígido: corpo que não deforma sob efeito de carregamento Forças concentradas: são forças que atuam em um ponto de um corpo

Leis de Newton Primeira Lei : uma partícula em descanso, ou movendo-se a velocidade constante, tende a permanecer em seu estado (equilíbrio).

Leis de Newton Segunda Lei: uma partícula de massa m onde uma força F atua, ganha aceleração a que tem a mesma direção e magnitude proporcional à força aplicada.

Leis de Newton Terceira Lei : forças mútuas de ação e reação entre duas partículas são iguais, opostas e colineares.

Escalar e Vetor Escalar é uma quantidade física (positiva ou negativa) que pode ser especificada por sua magnitude. Exemplo: massa, comprimento e tempo Vetor é uma quantidade física que para sua descrição requer magnitude e direção. Exemplos na estática: força, posição e momento

Vetor: Indicação gráfica Um vetor é caracterizado por sua intensidade (comprimento da linha), direção (ângulo entre uma referência e a linha de ação) e o sentido (indicado pela seta).

Operações com vetores Multiplicação e divisão de vetores por escalares

Operações com vetores Adição de Vetores Regra Paralelogramo: R=A+B Regra do Paralelogramo: lei baseada em evidência experimental, não pode ser comprovada matematicamente Regra Triângulo: R=A+B

Operações com vetores Subtração de Vetores

Vetor Adição de Forças Determinar Vetor Resultante Força: FR = F1+F2

Vetor Adição de Forças Determinar componentes de um vetor de força

Vetor Adição de Forças Adição de várias forças

Resolução: Trigonometria Lei Cossenos Lei Senos

Exemplo 1 1) Um olhal é submetido à duas forças, F1 e F2. Determinar a intensidade e direção da força resultante.

Exemplo 1 Resolução Lei paralelogramo/ Triângulo:

Exemplo 1 Trigonometria Determinar força resultante:

Exemplo 1 Trigonometria Determinar direção força resultante:

Exemplo 2 Determinar a intensidade dos componentes da força de 600 lb aplicada na estrutura da figura no eixos u e v.

Exemplo 2 Resolução Lei paralelogramo/ Triângulo:

Exemplo 2 Determinação da intensidade das componentes

Exemplo 3 Determinar a intensidade da componente de força F e da força resultante FR, considerando que a FR é direcionada ao longo do eixo y positivo.

Exemplo 3 Resolução Lei paralelogramo/ Triângulo:

Exemplo 3 Intensidade componente F: Intensidade da resultante FR:

Exemplo 4 Na estrutura abaixo é requerido que a resultante de força seja direcionada ao longo do eixo x e que F2 tenha intensidade mínima. Determinar a intensidade, o ângulo , e a força resultante.

Exemplo 4 Resolução Lei paralelogramo/ Triângulo: OBS: F2 é mínimo quando  é 90

Exemplo 4 Trigonometria

Sistemas Bidimensionais de Força Notação Escalar Utilizando ângulo Utilizando proporção de lados

Sistemas Bidimensionais de Força Notação vetorial: Vetores unitários: i e j

Sistemas Bidimensionais de Força Resultante de forças coplanares Notação vetorial Notação escalar

Sistemas Bidimensionais de Força Decomposição forças Intensidade vetor resultante Direção vetor resultante

Exemplo 1 A estrutura abaixo é submetida à forças F1 e F2. Determinar a intensidade e direção da força resultante utilizando notação escalar e vetorial.

Exemplo 1 – Notação escalar Decomposição de forças Intensidade vetor resultante Direção do vetor resultante

Exemplo 1 – Notação vetorial Decomposição de forças Intensidade vetor resultante Direção do vetor resultante EME 302 PG:48

Momento de uma força em relação a um ponto Formulação escalar: A intensidade de momento é dada por: Mo= F.d , onde d é distância perpendicular do eixo no ponto O para linha de ação da força. O momento é dado em N.m M= F.d M= 0 M= F.d.sen

Momento de uma força em relação a um ponto Direção do momento é definido pelo eixo Momento. A regra da mão direita é utilizada para estabelecer o sentido (dedos) e direção do momento (polegar).

Momento de uma força em relação a um ponto Momento Resultante Convenção Sentido horário (negativo) Sentido Anti-horário (positivo)

Exemplo 1 Determinar o momento da força sobre o ponto O para cada um dos casos abaixo:

Exemplo 1 Resultados:

Exemplo 2 Determinar o momento resultante das forças atuando no ponto O da estrutura abaixo.

Exemplos Resultado:

Momento de uma força em relação a um ponto Formulação Vetorial: magnitude e direção

Momento de uma força em relação a um ponto Formulação Vetorial (Cartesiano) rx,ry,rz são componentes do vetor posição r do ponto O a qualquer ponto da linha de ação da força Fx,Fy,Fz são componentes do vetor força

Momento de uma força em relação a um ponto Mo = Determinante

Momento de uma força em relação a um ponto Momento Resultante de um Sistema de Forças MRo = r1xF1 + r2xF2 + r3xF3

Exemplo Determinar o momento produzido pela força F sobre o ponto O. Expressar o resultados em termos de vetor cartesiano.

Exemplo 1 Resolução: Tanto o vetor rA como o vetor rB podem ser utilizados para determinar o momento no ponto O.

Exemplo 1 A força F expressa em vetor cartesiano é dada por:

Exemplo 1 Assim, Mo fica: Resolver para vetor rB EME 302 PG:63

Exemplo 2 Duas forças atuam na estrutura abaixo. Determinar o momento resultante na flange (ponto O). Expressar resultados como vetor cartesiano.

Exemplo 2 Vetores posição Momento resultante

Exemplo 2 Cálculo da direção do momento resultante

Teorema Varignon O momento de uma força sobre um ponto é igual à soma dos momentos dos componentes da força sobre o ponto. Desde que , fazendo a distributiva: Para problemas bidimensionais:

Princípio Transmissão de Força Define que a condição de equilíbrio (ou movimento) de um corpo-rígido permanecerá a mesma, se a força F atuando em um dado ponto do corpo rígido for substituída por uma força F’ de mesma intensidade e direção, mas atuando em um ponto diferente (na mesma linha de ação) F é equivalente a F’ F F’

Princípio Transmissão de Força Matematicamente: A força F pode ser aplicada a qualquer ponto de sua linha de ação e o momento sobre o ponto O será o mesmo.

Exemplo Determinar o momento da força F sobre o ponto O.

Exemplo Solução I Determinar o braço de momento em relação ao ponto O Momento em O: Momento em O, negativo, direção para o quadro

Exemplo Solução II: decompor forças em x e em y

Exemplo Solução III: orientar os eixos x e y de forma a coincidir com o eixo da barra eliminando o momento em x

Exemplo Determinar o momento da força F sobre o ponto O (solução escalar e vetorial)

Exemplo Solução I (escalar): decompor a força nas componentes Fx e Fy.

Solução II (vetorial): escrever os vetores força e posição Exemplo Solução II (vetorial): escrever os vetores força e posição Resolver: Mo = r x F (determinante matriz)

Binário e Momento de um Binário Duas forças F e –F com mesma intensidade, linha de ação paralelas, de sentidos opostos e separadas por uma distância d são chamadas de binários. A força resultante de um binário é nula. O binário gera somente tendência de rotação.

Binário e Momento de um Binário O momento produzido por um binário é chamado de momento binário. M= (rB x F) + (rA x (–F)) = (rB – rA) x F rB = rA + r ou r = rB - rA Portanto: Mo = r x F (Vetorial)

Exemplo Determinar o momento binário resultante de três binários atuando na estrutura da figura abaixo.

Exemplo Solução: Por convenção: momento binário no sentido anti-horário positivo. F.d = (F1.d1) + (F2.d2) + (F3.d3) F.d = (-200lb).(4ft) + (450lb).(3ft) + (-300lb) (5ft) F.d = MR = -950 lb.ft (sentido horário)

Exemplo Determinar a intensidade e direção do momento binário atuando na engrenagem

Exemplo Solução: decompor forças em x e y

Redução de sistemas de força e momento Algumas vezes é conveniente reduzir um sistema de forças e momentos binários atuando em um corpo substituindo por um sistema equivalente, de uma força e um conjugado. Sistema Equivalente

Exemplo Substituir as forças na estrutura abaixo por um sistema equivalente de força e momento atuando no ponto O.

Exemplo Solução: decompor as forças de 3 kN e 5 kN nos eixos x e y.

Exemplo Achar a intensidade e direção do vetor força resultante Somatória dos momentos: (MR)o = (3kN)sen30(0,2m) – (3kN) cos30(0,1m) + (3/5)5kN(0,1m) -4kN(0,2m) – (4/5)5kN(0,5m) (MR)o = -2,46 kN.m (sentido horário)

Exemplo A estrutura abaixo é submetida a um momento M e forças F1 e F2. Substituir esse sistema por um sistema equivalente resultante de força e momento atuando na base O. Dica: utilizar notação vetorial

Exemplo Solução: expressar forças e momento na forma de vetor

Exemplo Força resultante: Momento Resultante em O

Momento de uma força sobre um eixo Em algumas situações conhecer uma componente do momento (My) é mais importante do que determinar o momento total (Mo).

Momento de uma força sobre um eixo Análise escalar: Para um eixo qualquer (ex: eixo a), o momento é dado por: Ma= F . da Exemplo prático: para evitar tombamento, momento gerado pela força F deve ser calculado sobre um eixo que passa pelos pontos A e B do guindaste. Eixo AB

Momento de uma força sobre um eixo Análise Vetorial uax , uay , uaz representam os componentes x,y,z de um vetor unitário que define a direção do eixo a rx, ry,rz representam os componentes do vetor posição que qualquer ponto O do eixo a, para qualquer ponto da linha de ação da força Fx, Fy, Fz representam os componentes x,y,z do vetor força