Aula 3 – Melhor resposta e Equilíbrio de Nash Teoria dos Jogos Aula 3 – Melhor resposta e Equilíbrio de Nash
Elementos de um Jogo Um modelo estratégico de um jogo contém os seguintes elementos básicos: N = {P1, Ps ,.. Pn} ( conjunto de n jogadores) (1) Si = {s1, s2, .. ,sm} (conjunto de estratégias para cada jogador Pi) (2) Sp = {S1 x S2 x..Sn} (conjunto de perfís estratégicos) (3) Ui : Sp R (função utilidade para o jogador Pi) (4) Notação prática S-i = ( conjunto de todas estratégias dos outros jogadores exceto Pi
Exemplo 1 (1/2) 1-Não existe dominância! r U 5,1 0,2 M 1,4 4,1 D 4,2 2.3 1-Não existe dominância! 2-Jogador pode sua crença (a priori belief) sobre o comportamento do adversário 3.P.ex.: se P1 acha que prob(l)=prob(r)=0,5 então: E(U,0.5,0.5)=0.5*5+0.5*0=2.5 E(M,0.5,0.5)=0.5*1+0.5*4=2.5 E(D,0.5,0.5)=0.5*4+0.5*2=3.0 4-Neste caso, a melhor resposta de P1, dada sua crença sobre P2 é D.
Exemplo 1 (2/2) E(U,p,1-p)=(1-p)*5+(p)*0=-5p+5 r U 5,1 0,2 M 1,4 4,1 D 4,2 2.3 1-A melhor resposta de P1, depende da crença sobre o comportamento de P2 2-seja p a estimativa a priori de P2 jogar r. 3-Assim podemos generalizar o resultado anterior: E(U,p,1-p)=(1-p)*5+(p)*0=-5p+5 E(M,p,1-p)=(1-p)*1+(p)*4=3p+1 E(D,p,1-p)=(1-p)*4+(p)*2=-2p+4
Equilíbrio de Nash 1-Uma estratégia si∗ é a melhor resposta ao vetor estratégico dos outros jogadores se: ui(si, si*-i) ≤ ui (s∗i , si*-i) para todas as estratégias (si) do jogador i. 2-Um perfil estratégico s*=s1*,s2*,...sn* é um NE se ui(si, si*-i) ≤ ui (s∗i , si*-i) para todos jogadores e todas as suas estratégias (i e si).
Exemplo 2 R L U -3,-3 0,-9 D -9,0 -1,-1 S1={U,D} S2={R,L} Sp={(U,R),(U,L),(D,R),(D,L) } S*=(U,R) pois U1(D,R) <=U1(U,R) e U1(D,L)<=U1(U,L) U2(U,L) <=U2(U,R) e U2(D,L)<=U2(D,R)
Exemplo 3 - Bertrand H M L 6,6 0,10 0,8 10,0 5,5 8,0 4,4
Exemplo 4-Batalha dos sexos H\W Box Ballet 3,1 0,0 1,3
Exemplo 5 - Dilema dos prisioneiros H\W Dedura Cala 0,0 7,-2 -2,7 5,5
Exemplo 6 - Chicken ½ encara amarela Encara -5,-5 10,0 Amarela 0,10 2,2
Exemplo 7 – Col. Blotto 1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,4 1 0,1 2 3 4