EDO de 2ª ordem Linear (continuação) Matemática para Economia III

EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes Vamos reescrever (3) da seguinte forma: y’’+p y’+q y=0 (3’) Candidato a solução: y(t)=e λt. Vamos testar! Substituindo em (3’) obtemos λ 2 e λt +p λ e λt +q e λt =0 e λt (λ 2 +p λ+q)=0 Derivada de 2ª ordem Derivada de 1ª ordem Derivada de ordem zero (a própria função)

EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes Para que y(t)=e λt seja solução devemos λ 2 +p λ+q=0 (4) que é conhecida como equação característica auxiliar da EDO (3’). Como (4) é uma equação do 2º grau temos três possibilidades para suas raízes

Caso 2: (p 2 -4q=0) Duas raízes reais repetidas: λ 1 = λ 2 = -p/2. Candidatos a solução: y 1 = e –pt/2 e y 2 = t e –pt /2 (verifique que são L.I.) logo, se λ 1 = λ 2 a solução geral é y = c 1 e –pt /t + c 2 t e –pt / 2 Exemplo: Encontre a solução geral da equação ordinária y’’ – 2y’ + y = 0. EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes

Caso 3: (p 2 -4q<0) Duas raízes complexas conjugadas λ 1 = a+bi e λ 2 = a-bi Candidatos a solução: y 1 = e (a+bi)t e y 2 = e (a-bi)t (verifique que são L.I.) logo qualquer combinação linear de y 1 e y 2 é. Em particular temos que são também soluções, para obtê-las usamos a fórmula de Euler: e iβ =cos β+isen β Deste modo podemos construir uma solução da forma: y(t)=A ϕ 1 (t)+B ϕ 2 (t)=e at (A cos(bt)+B sen(bt))

Exemplo: Encontre a solução geral da equação ordinária y’’+ y = 0. Obs: O estudo das soluções fundamentais de equações lineares homogêneas pode ser feito também via a definição de um operador diferencial L dado por: L[  ] =  ’’ + p  ’ + q  onde p e q são funções contínuas em (a,b). Seja V o espaço vetorial das funções que são duas vezes diferenciáveis. O operador L está definido em V com imagem em V ( L:V→V ). O valor de L[  ] em t é dado por L[  ](t) =  ’’(t) + p(t)  ’(t) + q(t)  (t). EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes

O operador L é normalmente usado como L = D 2 + pD + q, onde D é o operador derivada. Usando y para representar  (t), temos L[y] = y’’ + p(t) y’(t) + q(t) y = 0 e as condições y (t 0 ) = y 0 e y’ (t 0 ) = y 0 ’. Exercício: Verifique que o operador L:V→V é um operador linear.

Dada a equação não homogênea L[y] = y” + p(t)y’ + q(t)y = g(t) (5) onde p, q e g são funções contínuas em um intervalo aberto I. A equação L[y] = y” + p(t)y’ + q(t)y = 0 é chamada de equação homogênea associada. Teorema: Se Y 1 e Y 2 são duas soluções da equação não homogênea acima (5), então sua diferença Y 1 - Y 2 é uma solução da equação homogênea associada. Se além disso, y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea, então Y 1 (t) - Y 2 (t) = c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t), onde c 1 e c 2 são constantes determinadas. EDO’s de 2ª ordem lineares não homogêneas

Teorema: A solução geral da equação não homogênea dada (5) poder escrita na forma y(t) = c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t) + Y(t), onde y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada, c 1 e c 2 são constantes arbitrárias e Y é alguma solução específica da equação não homogênea. Obs: Por este teorema, devemos fazer 3 coisas para resolver a equação não homogênea dada. 1- Encontrar a solução geral c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t) da equação homogênea associada ( y h ); 2 – Encontrar uma única solução Y(t) da equação não homogênea ( y p ); 3 – Somar as duas funções encontradas ( y = y h + y p ). EDO’s de 2ª ordem lineares não homogêneas

Método dos coeficientes a determinar Seja y” + p(t)y’ + q(t)y = g(t) Vimos que y(t) = y h + y p é solução. Vamos ver como achar y p (t) quando g(t) é um(a): 1- Polinômio de grau n na variável t 2- Múltiplo de uma função exponencial 3 - Combinação linear de funções trigonométricas 4 – Produto das formas 1, 2 e 3.

g(t)y p (t) 1 - a 0 t n +a 1 t (n-1) a n 1 -(A 0 t n + A 1 t (n-1) A n ) 2 - Ae  t 2 -Be  t 3.1- cos(  t) ou sen(  t) cos(  1 t)+sen(  2 t) b 1 cos(  t)+ b 2 sen(  t) 3.2 – [b 1 cos(  1 t)+ b 2 sen(  1 t)]+ [c 1 cos(  2 t)+ c 2 sen(  2 t)] (a 0 t n +a 1 t (n-1) a n )e  t sen(  t) ou (a 0 t n +a 1 t (n-1) a n )e  t cos(  t) [(A 0 t n + A 1 t (n-1) A n ) e  t cos(  t) + (  0 t n +  1 t (n-1)  n ) e  t sen(  t) Neste método fazemos uma hipótese inicial sobre a forma da solução particular yp(t), mas com os coeficientes não especificados. Substitui-se, então, a expressão hipotética na equação diferencial e tentamos determinar os coeficientes de modo que a equação seja satisfeita. Método dos coeficientes a determinar

g(t)y p (t) 1 - a 0 t n +a 1 t (n-1) a n 1 –t s (A 0 t n + A 1 t (n-1) A n ) 2 - Ae  t 2 -t s Be  t 3.1- cos(  t) ou sen(  t) cos(  1 t)+sen(  2 t) 3.1 –t s (b 1 cos(  t)+ b 2 sen(  t)) 3.2 – t s [b 1 cos(  1 t)+ b 2 sen(  1 t)]+ t s [c 1 cos(  2 t)+ c 2 sen(  2 t)] (a 0 t n +a 1 t (n-1) a n )e  t sen(  t) ou (a 0 t n +a 1 t (n-1) a n )e  t cos(  t) t s [(A 0 t n + A 1 t (n-1) A n ) e  t cos(  t) +t s (  0 t n +  1 t (n-1)  n ) e  t sen(  t) Obs: Se algum termo da expressão de y p for solução da equação homogênea associada propõe t.y p (t) para solução particular de (5). Caso t.y p (t) seja solução da equação homogênea associada então propõe-se t 2.y p (t) e assim por diante. Deste modo na prática temos: Método dos coeficientes a determinar De modo que s seja o menor inteiro não negativo ( s = 0, 1, 2,... ) que garanta que nenhuma parcela de y p (t) seja solução da equação homogênea correspondente.