Semelhança de triângulos e relações métricas no triângulo retângulo Prof. Osmar Mantovani, Prof. Fernando Lorenzo Paschoal e Prof. Marcos Valério Paes Colégio Visconde de Porto Seguro Valinhos 2011

Importante Este material apresenta semelhança de triângulos logo no início mas seu objetivo é favorecer a aplicação dos conhecimentos de semelhança na apresentação das relações métricas no triângulo retângulo. Assim, não são apresentados os conhecidos “casos de semelhança”, por exemplo. A abordagem utilizada para este tema é “ângulos iguais e lados proporcionais”. Alguns slides possuem anotações com observações e justificativas para a utilização do mesmo. Os slides de 13 a 16 estão elaborados de forma que o professor possa entregá-los a seus alunos para que eles deduzam as relações métricas a partir de semelhança de triângulos. Esses slides podem ser impressos no próprio Powerpoint em uma única folha. Os ângulos retos apresentados nas figuras não apresentam o “ponto” dentro do quadrado. Os desenhos, em sua maioria, foram feitos em Geogebra e esta opção não está disponível no software.

O conceito de semelhança Ampliando e reduzindo figuras simples: Este slide apresenta um retângulo e duas “ampliações” dele. Uma característica que muitos alunos percebem rapidamente: os lados “aumentaram”, “dobraram”, “triplicaram”, etc. Uma ideia muito importante e que precisa ser ressaltada: há proporção entre os lados. Uma característica que muitos alunos não percebem e que é fundamental nesse momento: os ângulos correspondentes continuaram iguais!

Definição de polígonos semelhantes Dois polígonos são semelhantes quando satisfazem, simultaneamente, duas condições: As medidas dos lados que se correspondem são proporcionais. As medidas dos ângulos que se correspondem são iguais.

Polígonos semelhantes Polígonos semelhantes: ângulos “iguais” e lados proporcionais.

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Semelhança de triângulos Polígono qualquer: corte paralelo a um dos lados determina ângulos iguais mas lados não necessariamente proporcionais Triângulo qualquer : corte paralelo a um dos lados determina ângulos iguais e lados proporcionais.

Semelhança de triângulos A forma de um triângulo fica completamente definida quando são conhecidos os seus ângulos. Na verdade, a forma de um triângulo fica completamente definida quando são conhecidos 2 de seus 3 ângulos.

Semelhança de triângulos Ou seja, se dois triângulos possuem dois ângulos iguais, o terceiro ângulo de ambos também é igual. Neste caso, os ângulos Pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º

Semelhança de triângulos Se os dois triângulos possuem (dois) ângulos iguais então, consequentemente, possuem lados proporcionais. Apenas um exemplo no qual a razão de semelhança é 2.

Construindo figuras semelhantes utilizando Homotetia Este slide apresenta um exemplo de criação de polígonos semelhantes por homotetia. Pode ser utilizado para detalhar o processo. O próximo slide está em branco para que possa ser utilizado pelos alunos e/ou pelo professor. Homotetia: obtemos figuras semelhantes, semelhantemente dispostas. A palavra homotetia vem do grego homós-igual + thétós-colocado + ia

Slide em branco para que possa ser utilizado pelos aluno e/ou pelo professor

Semelhança e homotetia A proposta deste slide é contribuir para que o aluno perceba que polígonos semelhantes podem ou não ser homotéticos, ou seja, podem ou não estar semelhantemente dispostos. Polígonos semelhantes e homotéticos (semelhantemente dispostos) Polígonos semelhantes

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO (EXERCÍCIOS) Semelhança RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO (EXERCÍCIOS) A partir deste slide são apresentados os casos de relações métricas no triângulo retângulo. Os casos são direcionados para a dedução das relações. O primeiro caso é apresentado de forma completa, com as figuras, proporções e a dedução da relação. Os demais são apresentados de forma incompleta, para que o aluno possa responder. O gabarito é apresentado a partir do slide 17.

Relações métricas no triângulo retângulo Medidas: a: hipotenusa b: maior cateto c: menor cateto h: altura relativa à hipotenusa m: projeção do cateto b n: projeção do cateto c

Relações métricas no triângulo retângulo

Relações métricas no triângulo retângulo

Relações métricas no triângulo retângulo

Relações métricas no triângulo retângulo

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO (GABARITOS) Semelhança RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO (GABARITOS)

Relações métricas no triângulo retângulo H

Relações métricas no triângulo retângulo

Relações métricas no triângulo retângulo

Relações métricas no triângulo retângulo

Relações métricas no triângulo retângulo

Relações métricas no triângulo retângulo