1.1. CONTROLE DIGITAL SISTEMAS DE CONTROLE DIGITAL podem executar duas funções: SUPERVISÃO (externa à malha de realimentação): sincronismo de tarefas, monitoração de valores fora da faixa de parâmetros e a seqüência de interrupção em condições seguras de operação. CONTROLE (interna à malha de realimentação): executa métodos de compensação implementados com controladores digitais. SISTEMAS II

1.2. CONTROLE DIGITAL VANTAGENS DO USO DE CONTROLADORES DIGITAIS: Variações na lei de controle de um controlador analógico requerem variações de hardware, enquanto que no controlador digital podem ser obtidas por mudanças no software. Redução do custo. Alta imunidade à ruído. SISTEMAS II

DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA DE CONTROLE DIGITAL: SISTEMAS II

1.4. CONTROLE DIGITAL SISTEMAS II 1) Clock no controlador fornece um pulso a cada T segundos. 2) Para cada instante de tempo, o conversor A/D recebe um pulso e amostra o sinal de erro. 3) O sinal de erro, que varia de forma contínua, é convertido pelo conversor A/D em um sinal digital. 4) O erro é amostrado a cada T segundos. 5) O controlador aplica a lei de controle, de acordo com o software. 6) A saída é convertida em um sinal analógico por um conversor D/A e é utilizado para atuar na variável da planta. SISTEMAS II

2.1. PROCESSO DE AMOSTRAGEM CONVERSOR A/D: amostra sinais analógicos. Geralmente a amostragem ocorre em intervalos de tempo regulares, a cada T segundos. Pode ser considerado como uma chave que é fechada a cada T segundos por um intervalo de tempo Δt. e(t) = sinal de erro analógico. e*(t) = sinal de erro digital. SISTEMAS II

2.2. PROCESSO DE AMOSTRAGEM GENERALIZAÇÃO: qualquer que seja a forma da função de tempo contínuo, a saída digital é uma seqüência de impulsos. Cada impulso na seqüência é um impulso unitário multiplicado pelo valor de f(t) naquele instante de tempo. Uma função f*(t) que descreve a seqüência de pulsos para uma função f(t) com período de amostragem T pode ser escrita como: f*(t) = f(0)(impulso em t = 0) + f(1T)(impulso em t = 1T) + f(2T)(impulso em t = 2T) + ... + f(kT)(impulso em t = kT) SISTEMAS II

3.1. PROCESSO DE RECONSTRUÇÃO CONVERSOR D/A: converte o sinal codificado em binário, em algum instante do tempo, em um impulso cuja amplitude está relacionada com o código binário. A entrada, que era uma seqüência de sinais codificados em binário, torna-se uma seqüência de impulsos. O tempo entre dois impulsos sucessivos é igual ao período de amostragem T. SISTEMAS II

3.2. PROCESSO DE RECONSTRUÇÃO RECONSTRUTOR DE ORDEM ZERO = ZERO ORDER HOLD: a seqüência de impulsos é convertida em um sinal analógico com forma de degraus que se mantém constantes durante o intervalo T. Função de transferência: Ghoz(s) = (1 – e-Ts) / s SISTEMAS II

4.1. TRANSFORMADA Z CONCEITO: ferramenta matemática utilizada para o estudo dos sistemas de tempo discreto no domínio da freqüência, que possibilita uma grande simplificação na análise dos sinais e posterior representação dos sistemas digitais. Substituição: esT = z (variável complexa para operação com sistemas discretos) SISTEMAS II

4.2. TRANSFORMADA Z SISTEMAS II PROCESSO DE TRANSFORMAÇÃO: a) O sinal é necessariamente conhecido nos instantes de amostragem e ignorado ou irrelevante fora dos mesmos  teremos ums sucessão de impulsos. b) Calcula-se a transformada de Laplace F*(s) da sucessão de impulsos. c) Faz-se a substituição de variável esT = z, que resulta numa série de potências em z-1. Esta função resultante é a transformada Z do sinal, para a qual usa-se a notação: Z [ F(s) ] ou Z [ F*(s) ] SISTEMAS II

4.3. TRANSFORMADA Z SISTEMAS II a) Função descrevendo uma seqüência de impulsos: f*(t) = f(0)(impulso em t=0) + f(1T)(impulso em t=1T) + f(2T)(impulso em t=2T) + ... + f(kT)(impulso em t=kT) b) Aplicando-se a transformada de Laplace: de um impulso em t=0  1 de um impulso em t=T  e-Ts de um impulso em t=2T  e-2Ts de um impulso em t=kT  e-kTs Assim: £ { f*(t) } = F*(s) = f(0).1 + f(T).e-Ts + f(2T).e-2Ts +...+ f(kT).e-kTs SISTEMAS II

F*(s) s=(1/T)lnz = k=0 k= f(kT) z-k 4.4. TRANSFORMADA Z c) Fazendo z = eTs podemos simplificar e escrever como: s = (1/T) . ln z Ou ainda: F*(s) s=(1/T)lnz = k=0 k= f(kT) z-k F(z) = F*(s) s=(1/T)lnz = f(0).z-0 + f(T).z-1 + f(2T).z-2 +..+ f(kT).z-k onde: s = número complexo; z = número complexo também SISTEMAS II

TABELA PARCIAL DE TRANSFORMADAS Z 4.5. TRANSFORMADA Z TABELA PARCIAL DE TRANSFORMADAS Z SISTEMAS II

[f1(t) + f2(t)]  [F1(z) + F2(z)] 4.6. TRANSFORMADA Z PROPRIEDADES BÁSICAS DA TRANSFORMADA Z: 1) A multiplicação da função no tempo por uma constante resulta na multiplicação da transformada Z pela mesma constante: k.f(t)  k.F(z) 2) A adição de duas funções no tempo resulta na adição de duas transformadas Z separadas: [f1(t) + f2(t)]  [F1(z) + F2(z)] 3) O teorema do valor final dá o valor que será alcançado pela função de tempo amostrado, isto é, o valor em regime permanente: lim f(t)t  = lim (z-1).F(z)z 1 4) O teorema do valor inicial dá o valor que a função no tempo tem quando (t = 0): lim f(t)t 0 = lim F(z)z  5) Se a função no tempo é deslocada por um intervalo kT, então a transformada Z da função é multiplicada por z-k : Z[f(t - kT)] = z-k F(z) SISTEMAS II

TEOREMAS DA TRANSFORMADA Z SISTEMAS II

Kz / (z - ) ; K1z / (z2 - z + 1) ; z(z - K2) / (z2 - z + 1) 5.1. TRANSFORMADA Z INVERSA CONCEITO: seqüência de amostras representadas por uma transformada Z, ou seja, o cálculo da sucessão de números f(nT), dada a transformada F(z). 1) MÉTODO DA EXPANSÃO DE F(z) EM FRAÇÕES PARCIAIS É realizado com o objetivo de identificar transformadas Z já tabeladas e em frações como: Kz / (z - ) ; K1z / (z2 - z + 1) ; z(z - K2) / (z2 - z + 1) Feita a expansão, a consulta à tabela permite determinar as funções de tempo t correspondentes às frações, uma a uma. Fazendo (t = nT), temos a função amostrada original. SISTEMAS II

5.2. TRANSFORMADA Z INVERSA 2) MÉTODO DA EXPANSÃO DE F(z) EM SÉRIE DE POTÊNCIAS OU MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS Deve-se realizar sucessivas divisões do numerador pelo denominador da F(z). Resulta uma série ( n z-n), que corresponde a [ n (e-sT)n], isto é, à transformada de uma sucessão de impulsos de área n. Tais impulsos correspondem a amostras de amplitude n nos instantes nT. Assim, os termos do quociente fornecem os valores de f(k) que serão a solução da inversão. SISTEMAS II