SOLUÇÃO DE AUTOPROBLEMAS Objetivos: Analisar as propriedades das matrizes, autovalores e autovetores de problemas de interesse apresentando algumas técnicas de solução aproximada. Estabelecer as bases para a compreensão dos métodos mais efetivos de solução de autoproblemas. Solução de autoproblemas

Solução de autoproblemas Introdução Outro autoproblema é aquele da análise de sobreposição modal para vibração: Autoproblema padrão, satisfeito por n pares de autovalores (i) e autovetores (i): K: matriz de rigidez de 1 elemento finito ou da montagem de elementos, ordem n. K, M: matrizes de rigidez e de massa da montagem de elementos finitos. Para uma montagem de elementos, a metade da largura da banda é mK, ou seja a largura de banda total é 2mK+1. A matriz de massa pode ser em banda, onde sua largura de banda mM=mK, ou M pode ser diagonal com mii≥0. Os autovalores são ordenados pelo módulo A matriz M em banda, obtida em uma análise de massa consistente, é sempre definida positiva; enquanto uma matriz M é definida positiva só se todos os elementos na diagonal são maiores que zero. A solução para os primeiros p autopares é escrita como, Em geral, uma matriz de massa diagonal é semidefinida positiva. Se K é definida positiva (i>0, i=1,...,n), e se semidefinida positiva (i≥0, i=1,...,n). O número de i=0 é igual ao número de modos de corpo rígido. A solução para p autopares é escrita como: Solução de autoproblemas

Solução de autoproblemas Introdução (cont.) Diversos métodos de solução de autoproblemas tem sido desenvolvidos, mas a maioria envolve matrizes gerais. A análise de elementos finitos envolve a solução dos autoproblemas listados, onde as propriedades das matrizes em relação a banda e de ser definida positivas são exploradas para obter a solução mais econômica. Outro autoproblema é aquele da análise de flambagem linearizado. onde t-tK e tK são as matrizes de rigidez nos tempos (i.e. níveis carga) respectivos. Outro autoproblema é encontrado na análise de transferência de calor. onde K é a matriz de condutividade térmica e C a matriz de capacitância térmica, se determinando os autovalores e autovetores térmicos. As matrizes K e C são definidas positivas ou semidefinidas positivas, e i≥0 (i=1,..,n). Solução de autoproblemas

Solução de autoproblemas Fundamentos na solução de autoproblemas Os autovetores satisfazem a K-ortogonalidade Propriedades dos autovetores Cada autopar (li, fi) satisfaz o problema, Assumindo que i têm multiplicidade m (i= i+1=...= i+m-1), podemos escolher m autovetores i,..., i+m-1 que abarca o espaço m-dimensional dos autovalores i, mas os autovetores não são únicos. Definido o vetor iMi e usado como vetor de carga R na eq. KU=R, logo U=i. Um autovetor é definido unicamente dentro da multiplicidade dele Podemos escrever então, a: constante diferente de zero (a i): autovetor condições que as p colunas de  como autovetores devem satisfazer Se as condições são satisfeitas, os p vetores não precisam ser sempre autovetores a menos que p=n, pois só os autovetores abarcam o espaço n total. Os autovetores satisfazem a M-ortonormalidade ij: delta de Kronecker Solução de autoproblemas

Solução de autoproblemas Fundamentos na solução de autoproblemas Exemplo Considere o autoproblema e os vetores v, Para mostrar que v1 e v2 não são autovetores, avalia-se: Mostrar que os vetores satisfazem as relações de ortogonalidade mas não são autovetores. O vetor Kv1 não pode ser igual ao vetor aMv1, onde  é um escalar; quer dizer Kv1 não é paralelo a Mv1. Assim v1 não é um autovetor, e v2 também não. Avaliando as relações de ortogonalidade, observa-se que elas são satisfeitas, Os valores calculados de (4-√2) e (4+√2) não correspondem a autovalores. Solução de autoproblemas

Solução de autoproblemas Fundamentos na solução de autoproblemas (cont.) Polinômio característico e restrições Para o caso especial M=I, os autovalores do (r+1)-ésimo problema de restrição separam-se daqueles do r-ésimo problema de restrição, ou seja: Os autovalores do problema K=M são raízes do polinômio característico: Re-escrevendo o problema na forma, observa-se que ela pode ser satisfeita somente para i diferentes de zero, desde que K-iM seja singular. O autoproblema da r-ésima restrição associada e relativa a K=M é: onde as matrizes são da ordem n-r e K(r) e M(r) são obtidas ao cancelar de K e M as ultimas r filas e colunas. Solução de autoproblemas