Equação de Ondas em 3 dimensões Os fenômenos ondulatórios, independentemente da sua origem, têm a sua evolução temporal descrita por equações de onda do tipo: meio não dispersivo onde é a variável dinâmica de interesse; por exemplo: o campo elétrico ou o campo magnético da radiação EM. Se quisermos investigar a evolução temporal da densidade de probabilidade , devemos estudar como varia no tempo. No que segue, vamos fazer essa análise apenas para partículas massivas!

A equação de Schrödinger Em geral podemos dizer que para uma onda plana temos, com k e r vetores, e ψ escalar: Derivando com relação a t : Tomando o gradiente de e depois a sua divergência

Equação de Schrödinger da partícula livre (E = Ek ; V = 0) : A equação de Schrödinger Então: e Equação de Schrödinger da partícula livre (E = Ek ; V = 0) :

A equação de Schrödinger Mas, no caso geral , não – relativístico: (Postulada!) Equação de Schrödinger Mas a onda plana é solução se V(x) = 0 para todo x

A equação de Schrödinger independente do tempo Onda estacionária: substituindo na Eq. de Schrödinger: obtemos: Equação de Schrödinger independente do tempo.

Equação de Schrödinger em 3D A generalização da eq. de Schrödinger de uma para três dimensões e coordenadas ortogonais é: Equação de Schrödinger dependente do tempo onda plana, solução para V(r)=0 Equação de Schrödinger independente do tempo

Caixa paralelepípedo Se tivermos uma caixa retangular com potenciais infinitos, a solução da eq. de Schrödinger, no interior da caixa, pode ser escrita como: Dentro da caixa V(x) = 0 : x y z Ly Lx Lz As condições de contorno serão: As soluções serão:

As condições de contorno : x y z Ly Lx Lz As condições de contorno : Assim, temos como solução: Observe que agora temos um sistema tridimensional e portanto as soluções contem três números quânticos para que definem cada estado:

O níveis de energia serão então dados por (demonstrar):

O níveis de energia são então dados por: Quebra da Degenerescência Estados Degenerados

Problema Um elétron de massa m está confinado em uma caixa cúbica de dimensões . a) Quantas frequências diferentes o elétron é capaz de emitir, ou absorver, ao sofrer uma transição entre dois níveis que estejam entre os tres de menor energia? Que múltiplo de corresponde (b) à menor, e (c) à maior frequência? a) 3 frequências: Ver Figura b) c)

E3,2,1 = E1,3,2 = E2,1,3 = 14E1 _________________ E3,1,1 = E1,3,1 = E1,1,3 = 11E1 _________________ ____________ E1,3,1 ____________ E1,1,3