2.3. Aplicações das Integrais Simples Ensino Superior Cálculo 2 2.3. Aplicações das Integrais Simples Resumo Amintas Paiva Afonso

Comprimento de um Arco A determinação do comprimento de segmentos de arco irregular — também conhecido como retificação de uma curva — representou uma dificuldade histórica. Embora muitos métodos tenham sido utilizados para curvas específicas, o advento do cálculo levou a uma formulação geral que provê a solução em alguns casos. Definição: O comprimento de uma curva é o menor número tal que o comprimento dos caminhos polinomiais nunca pode ultrapassar, não importando quanto juntos sejam colocados os pontos finais do segmentos. Na linguagem matemática, o comprimento do arco é o supremo de todos comprimentos de um dado caminho polinomial.

Comprimento de um Arco Considere uma função f(x) tal que f(x) e f’(x) (isto é a derivada em relação a x) são contínuas em [a, b]. O comprimento s de parte do gráfico de f entre x = a e x = b é dado pela fórmula: a qual se deriva da fórmula da distância aproximada do comprimento do arco composto de muitos pequenos segmentos de reta. Como o número de segmentos tende para o infinito (pelo uso da integral) esta aproximação se torna um valor exato.

Comprimento de um Arco Exemplo 1: Calcule o comprimento da curva y2 = 4x3 entre os pontos (0, 0) e (2, 4 ) x y Se isolarmos y 42 2 Logo, O comprimento do arco será:

Comprimento de um Arco

Exemplo 2: Determinar o comprimento de arco da curva Comprimento de um Arco Exemplo 2: Determinar o comprimento de arco da curva

Comprimento de um Arco Exemplo 3: Determinar o comprimento de arco da curva , de x = 2 a x = 4.

Comprimento de um Arco Exemplo 4: Determinar o comprimento de arco da curva , de x = 0 a x = 5.

Comprimento de um Arco Exemplo 5: Determinar o comprimento de arco da curva , de x = 0 a x = 1.

Comprimento de um Arco Exemplo 6: Determinar o comprimento de arco da curva , de x = /4 a x = /2.

Volume de Sólidos Volume de um sólido de revolução, obtido pela rotação em torno ao eixo x - ou y - de um conjunto A.

Sólidos de Revolução Introdução: Dados um plano a, uma reta r desse plano e uma região R do plano a inteiramente contida num dos semi-planos de a determinado por r, vamos considerar o sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno da reta r. a Para isso usaremos ainda seções transversais e tomaremos como eixo orientado o eixo de rotação (a reta r).

Sólidos de Revolução

Sólidos de Revolução Cálculo do volume Seja f uma função contínua num intervalo [a,b], sendo f(x)  0 para todo x, tal que a  x  b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x1 = a e x2 = b. Seja B o sólido obtido através da rotação do conjunto A em torno do eixo x: A x1=a x2=b B

Sólidos de Revolução Cálculo do volume A soma que aparece no slide anterior pode ser substituída pelo símbolo de integral, uma vez que a função é contínua no intervalo e o limite existe. Logo: Vamos analisar agora o volume de alguns sólidos em certas situações especiais. A x1=a x2=b B

Sólidos de Revolução

Sólidos de Revolução

Sólidos de Revolução Quando a função f(x) é negativa em alguns pontos de [a,b]. - A fórmula do volume permanece válida, pois |f(x)| = (f(x))2. O sólido gerado pela rotação da figura (a) é o mesmo gerado pela rotação da figura (b). (a) (b) (b)

Sólidos de Revolução Exercício 1: Se f(x) = x2, determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [1, 2]. De acordo com a definição:

Sólidos de Revolução Exercício 2: Se f(x) = x2 + 1, determine o volume do sólido gerado ela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [-1, 1]. - De acordo com a definição:

O volume do sólido é dado por: Sólidos de Revolução Exercício 3: Seja f(x) = sen x, x  [a, b]. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação do gráfico de f, ou seja pela rotação da região delimitada pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x = 0 e x = . O volume do sólido é dado por:                                            

Integral Indefinida INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DAS Revisão INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X) Sejam as identidades trigonométricas: Assim, 22

Sólidos de Revolução Quando, ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região A gira em torno do eixo dos y. - Neste caso, temos:

Sólidos de Revolução

Sólidos de Revolução Exercício 4: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por y = x3, y = 0 e x = 1 em torno do eixo y.

Sólidos de Revolução Exercício 5: Considere a região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de y = x, para 0  x  2, sendo girada primeiro ao redor do eixo x e depois ao redor do eixo y. Calcule o volume dos dois sólidos gerados. A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de        , para é girada ao redor do eixo x: O volume do sólido é dado por:                                           2 2

Sólidos de Revolução Exercício 5: b) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de        , para é girada ao redor do eixo y: 2 2 O volume do sólido é dado por:                                          

Sólidos de Revolução Exercício 5: b) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de        , para é girada ao redor do eixo y: 2 2 O volume do sólido é dado por:                                          

Sólidos de Revolução Exemplo 6: Calcule o volume de um sólido de revolução obtido pela rotação ao redor do eixo x da região compreendida pelo gráfico de y = x e y = 1/x, no intervalo [1/2, 3]. Calcule também o volume do sólido obtido ao girar a mesma região ao redor do eixo y. a) S1 1 S2 V1 V2 1/2 1 3

Efetuando os últimos cálculos, temos: Sólidos de Revolução Exemplo 6: Logo, o volume do sólido é: Efetuando os últimos cálculos, temos:

Sólidos de Revolução Exemplo 6: b) S1 1 S2 1/2 1 3

Efetuando os últimos cálculos, temos: Sólidos de Revolução Nesse caso, o volume do sólido gerado, calculado pelo método das cascas, é: Efetuando os últimos cálculos, temos:

Sólidos de Revolução Quando a região A está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b: Supondo f(x)  g(x), para qualquer x que pertença ao intervalo [a, b], o volume do sólido B, gerado pela rotação de R em torno do eixo x, é dado por:

Volume de Sólidos

Sólidos de Revolução

Sólidos de Revolução

Sólidos de Revolução

Sólidos de Revolução Exercício 6: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por x2 = y - 2, 2y - x - 2 = 0 e x = 0 em torno do eixo x.

Sólidos de Revolução Exercício 7: Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pela parábola e pela reta De acordo com a definição:

Sólidos de Revolução Exercício 7:

Sólidos de Revolução Exercício 7:

Sólidos de Revolução

Sólidos de Revolução Exercício 8: A região limitada pela parábola cúbica y = x3, pelo eixo dos y e pela reta y = 8, gira em torno do eixo dos y. Determinar o volume do sólido de revolução obtido. De acordo com a definição:

Sólidos de Revolução Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados. Se o eixo de revolução for a reta y = L, temos: a b y = f(x) A L

Sólidos de Revolução Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados. Se o eixo de revolução for a reta x = M, temos: c d y = f(x) A M

Sólidos de Revolução

Volume de um sólido pelo método dos invólucros cilíndricos. Volume de Sólidos Volume de um sólido pelo método dos invólucros cilíndricos.

Sólidos de Revolução Cálculo do volume Podemos imaginar o sólido como sendo constituído por cascas cilíndricas. O volume de cada uma das cascas é dado por: ou ainda, colocando                   e                 ,                          

indica o raio de cada invólucro Sólidos de Revolução Cálculo do volume Seja f uma função contínua num intervalo [a,b], com a  x < b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x1 = a e x2 = b. Suponhamos que a região gira ao redor do eixo y, gerando um sólido D, cujo volume queremos calcular. onde     indica o raio de cada invólucro e        indica sua altura.

Usando o método dos invólucros cilíndricos, temos: Sólidos de Revolução Exercício 10: Através do método dos invólucros cilíndricos encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de y = x , para 0  x  2, ao redor do eixo y. Usando o método dos invólucros cilíndricos, temos:                    

Sólidos de Revolução Exemplo 11: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre os gráficos de y = x3 e y = x, para 0  x  1, ao redor do eixo y. As duas funções se encontram nos pontos (0,0) e (1,1). O volume do sólido pode ser calculado pelo método das cascas e, portanto, é igual a:

Sólidos de Revolução Exemplo 12: Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno ao eixo x, do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 0  x  y e x2 + y2  2.

Sólidos de Revolução Inicialmente, para obter a região do plano, assinalada na primeira figura, precisamos encontrar a intersecção da reta com a circunferência, sendo x  0: Logo, x = 1: Assim, a variação de x ocorre no intervalo e o volume procurado é dado por:

Após a rotação, obtemos o seguinte sólido, que é denominado toro. Sólidos de Revolução Exemplo 13: Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno ao eixo x, do conjunto x2 + (y – 2)  1. Após a rotação, obtemos o seguinte sólido, que é denominado toro.

Logo, a integral que nos fornece o volume do sólido será: Sólidos de Revolução Inicialmente, a região pode ser encarada como delimitada pelos gráficos das funções: Logo, a integral que nos fornece o volume do sólido será:

Vamos encontrar primeiramente as primitivas da integral: Sólidos de Revolução Vamos calcular o mesmo volume pelo método dos invólucros cilíndricos: Vamos encontrar primeiramente as primitivas da integral: