MATRIZES Prof. Marlon

Matrizes – Conceitos Básicos Veja a tabela abaixo com as notas de um aluno qualquer, em cinco disciplinas durante o ano de 2010.

Matrizes – Conceitos Básicos Nada mal, embora ele precise melhorar em português e matemática. Porém, nosso negócio aqui é matemática, então repare que cada número tem o seu lugar nesta tabela; Se destacarmos apenas a parte numérica, a tabela ficará assim: 6,0 3,5 5,0 7,0 5,5 4,0 4,5 8,0 3,0 6,5 7,5 A tabela acima é uma MATRIZ.

Matrizes – Conceitos Básicos Colocando em notação matemática teremos: Esta matriz é do tipo 4x5, pois tem 4 linhas e 5 colunas.

Matrizes – Conceitos Básicos As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como aij.

Matrizes – Conceitos Básicos Sendo dado o sistema a11x 1 + a12x 2 + a13x 3 + ... + a1nx n = b1 a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2 a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3 ... am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm Vamos considerar uma tabela com os coeficientes das incógnitas a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n A = a31 a32 a33 a3n ... ... am1 am2 am3 amn ... Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij

Matrizes – Conceitos Básicos Elementos de uma matriz: a13= 2 3x5 a34= 7

Matrizes – Conceitos Básicos Amxn = [aij]mxn As matrizes podem ser classificadas segundo: A forma A natureza dos elementos

Matrizes – Conceitos Básicos Segundo a forma em: 1. Retangular Se o número de linhas é diferente do número de colunas 2. Quadrada Se o número de linhas é igual do número de colunas Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m 3. Linha Se o número de linhas é igual a um 4. Coluna Se o número de colunas é igual a um

Matrizes – Conceitos Básicos Segundo a natureza dos elementos em: 5. Real: se todos os seus elementos são reais 6. Complexa: se pelo menos um dos seus elementos é complexo 7. Nula: se todos os seus elementos são nulos

Matrizes – Conceitos Básicos Segundo a natureza dos elementos em: 8. Triangular Superior uma matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são nulos 9. Triangular Inferior uma matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são nulos

Matrizes – Conceitos Básicos Segundo a natureza dos elementos em: 10. Diagonal uma matriz quadrada em que os elementos não principais são nulos 11. Escalar uma matriz diagonal em que os elementos principais são iguais

Matrizes – Conceitos Básicos Segundo a natureza dos elementos em: 12. Identidade: Matriz com n linhas e n colunas, diagonal principal com todos os elementos iguais a 1, e os demais elementos iguais a zero. 13. Simétrica se os elementos aij são iguais aos aji

Matrizes – Conceitos Básicos Segundo a natureza dos elementos em: 14. Densa se a maioria dos seus elementos são não nulos 15. Dispersa se a maioria dos seus elementos são nulos

Matrizes – Operações com Matrizes Soma de Matrizes Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição.

Matrizes – Operações com Matrizes A soma de matrizes do mesmo tipo goza das seguintes propriedades: Comutativa Associativa Tem elemento neutro Todos os elementos têm inversa

Matrizes – Operações com Matrizes A soma de matrizes do mesmo tipo goza das seguintes propriedades: Comutativa Assim o conjunto M mxn forma um Grupo Aditivo Comutativo Associativa Tem elemento neutro Todos os elementos têm inversa

Matrizes – Operações com Matrizes Produto por um escalar (número real) Sejam A uma matriz e l um escalar O produto de l por A é uma matriz C do mesmo tipo de A que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por l

Matrizes – Operações com Matrizes Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo e os escalares l e m as seguintes propriedades são válidas:

Matrizes – Operações com Matrizes Consideremos o sistema a12x2 + a13x3 + a1nxn = b1 a11x1 + ... + a21x1 + a22x2 + a23x3 + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a3nxn = b3 ... am1x1 + am2x2 + am3x3 + amnxn = bm a11 a12 a13 a21 a22 a23 a1n ... a2n a31 a32 a33 a3n am1 am2 am3 amn x1 x2 x3 ... xn b1 b2 b3 ... bm = Matriz de ordem m por n de elementos aij

Multiplicação de Matrizes CASO 1 Matrizes – Operações com Matrizes Multiplicação de Matrizes CASO 1 Multiplicar uma matriz linha por uma matriz coluna Só se podem multiplicar matrizes se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. C = A.B A = B = A.B = [1.0 + 0.4 + (-1).(-1) + 2.5] = [11]

Multiplicação de Matrizes CASO 2 Matrizes – Operações com Matrizes Multiplicação de Matrizes CASO 2 Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matriz coluna Faz-se o produto de cada linha da primeira matriz pela coluna. Só se podem multiplicar matrizes se o número de colunas da matriz for igual ao número de elementos da matriz coluna. C = A.B

Multiplicação de Matrizes - CASO 3 Matrizes – Operações com Matrizes Multiplicação de Matrizes - CASO 3 1 2 3 1 2 3 = 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3 iguais O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B

Multiplicação de Matrizes - CASO 3 Matrizes – Operações com Matrizes Multiplicação de Matrizes - CASO 3 1 2 3 1 2 3 8 = 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3 O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B

Multiplicação de Matrizes - CASO 3 Matrizes – Operações com Matrizes Multiplicação de Matrizes - CASO 3 1 2 3 1 2 3 8 12 = 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3 O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B

Multiplicação de Matrizes - CASO 3 Matrizes – Operações com Matrizes Multiplicação de Matrizes - CASO 3 1 2 3 1 2 3 8 12 15 = 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3 O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B

Multiplicação de Matrizes - CASO 3 Matrizes – Operações com Matrizes Multiplicação de Matrizes - CASO 3 1 2 3 1 2 3 8 12 15 = 2 5 3 2 5 3 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3 O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B

Multiplicação de Matrizes - CASO 3 Matrizes – Operações com Matrizes Multiplicação de Matrizes - CASO 3 1 2 3 1 2 3 8 12 15 = 2 5 3 2 5 3 15 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3 O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B

Multiplicação de Matrizes - CASO 3 Matrizes – Operações com Matrizes Multiplicação de Matrizes - CASO 3 1 2 3 1 2 3 8 12 15 2 5 3 2 5 = 3 15 29 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3 O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B

Multiplicação de Matrizes - CASO 3 Matrizes – Operações com Matrizes Multiplicação de Matrizes - CASO 3 1 2 3 1 2 3 8 12 15 = 2 5 3 2 5 3 15 29 27 2 x 3 2 x 3 1 2 3 x 3 O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B

Matrizes – Operações com Matrizes Produto de Matrizes Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp. O produto de A por B é uma matriz C do tipo mxp cujos elementos são dados por: e escreve-se C = AB. O produto de matrizes não é comutativo

Matrizes – Operações com Matrizes Dadas as matrizes A, B e C, e a um escalar. Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos, as seguintes propriedades são válidas:

Matrizes – Operações com Matrizes Produto de Matrizes Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp. O produto de A por B é uma matriz C do tipo mxp Iguais Lembre-se: linhas da 1ª x colunas da 2ª

Matrizes – Operações com Matrizes Transposição de Matrizes Seja A uma matriz de tipo mxn. Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que: e escreve-se B = AT

Matrizes – Operações com Matrizes Dadas as matrizes A e B e a um escalar. Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas, as seguintes propriedades são válidas:

Matrizes – Matriz Oposta A matriz B diz-se OPOSTA da matriz A se os elementos de B forem os opostos dos elementos correspondentes de A. Conclusão: B = - A

Matrizes – Matriz Inversa Se A é uma matriz quadrada e existe B tal que: AB = BA = I então diz-se que A é invertível e escreve-se: B = A-1

Matrizes – Matriz Inversa Como encontrar a matriz inversa de uma matriz A dada? Vamos lembrar que sendo: B = A-1, então teremos: A . B = I ou ainda, A . A-1 = I

Matrizes – Matriz Inversa Resolvendo os sistemas obtidos: Assim a matriz inversa será: