Aplicações de Métodos Matemáticos Prof. Nestor Roqueiro Laboratório de Controle de Processos EQA - UFSC e-mail: nestor@enq.ufsc.br

O Problema Os modelos matemáticos que representam processos ou equipamentos são sistemas de equações algébricas, diferenciais e integrais que, em geral, não tem solução analítica. Para obter soluções, portanto, devem ser utilizados métodos numéricos. Para solução numérica de problemas de medio e grande porte é necessário o auxilio de computadores. E para que os computadores funcionem são necessários programas.

A Solução Comprar o software que resolva a classe de problemas que deseja tratar Desenvolver seus proprios programas Contratar alguem que desenvolva os programas Fazer combinações das três propostas acima

A Melhor Solução A melhor solução depende da verba disponível mas, em geral, o conhecimento de uma linguagem de programação de alto nível e programas que auxiliem na resolução de problemas numéricos costumam ser a solução mais eficiente, e mais barata.

Os Problemas Matemáticos Os problmas matemáticos que sugem na modelagem de processos e equipamentos são: Solução de sistemas de equaçoes algébricas Solução de sistemas de equações diferencias ordinárias Solução de sistemas de equações diferenciais parciais Ajuste de curvas e interpolação Otimização

A Aula de Hoje Nesta aula abordademos: Solução de sistema de equações algébricas (raízes) Solução numérica de EDO com condições iniciais Solução numérica de EDO com condições de contorno Solução numérica de EDP Interpolação

Software Usaremos o Matlab que combina uma linguagem de programação de alto nível com bibliotecas de programas de diversas áreas do conhecimento. Esta característica facilita a implementação de soluções numéricas.

Objetivo da Aula Resolver numericamente problemas matemáticos provenientes da modelagem de processos ou equipamentos.

Reator Continuo em Estado Estacionario O modelo é: os programas usados para resolver são: ‘reator’ e ‘cstr’

Simulação de um tanque de nivel O tanque de nivel está representado pela equação: os programas usados para resolver são: ‘edo’, ‘nivel’ e ‘tanque’.

Pellet de Catalisador O pellet está representado pela equação: os programas para solução numérica são ‘pell’ e ‘pellet’

Matemática simbólica Em uma calculadora a linha de comando y=sin(x) dará erro se não for atribuído previamente um valor a x

Em cálculo simbólico é possível operar expressões como sin(x) sem atribuir valores numéricos às variáveis. Ex: Cálculo da derivada de sin(x) >>syms x >>f=sin(x) >>diff(f) >> cos(x)

Outros exemplos Determinante de uma matriz simbólica syms a b c d M= [a,b;c,d]; det(M) Integral f=int(x^3/sqrt(1-x),a,b)

Conversão de variáveis Para converter uma variável simbólica em numérica usa-se double Ex: phi=sym((1+sqrt(5))/2) double(phi)

Substituição de variáveis Para substituir uma variável em uma expressão simbólica usa-se subs Ex: syms s f=a*x^2+b*x+c subs(f,x,s)

Derivação Para derivação analítica utiliza-se a função diff Ex: f=a*x^3+b*x^2-x+c diff(f,b,2)%deriva em relação a b duas vezes

Integração Para integração analítica utiliza-se a função int Ex: syms m n f=sin(s+2*x) int(f,s,m,n)

Resolução de equações algébricas Um sistema de equações algébricas syms u c d v e2=u-c+d+v-10 e1=d+(c+u)/2-v e3=v+d-u+c/4 e4=v+u-c+8*d-1 resolve-se usando solve(e1,e2,e3,e4)

Resolução de equações diferenciais Uma equação diferencial pode ser resolvida usando a função dsolve Ex: y=dsolve('D2y-2*Dy-3*y=0','y(0)=0','y(1)=1') tentar também y=dsolve('D2y-2*Dy-3*y=0')

Formatação e simplificação Para simplificar expressões usa-se a função simple f= (1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3) y=simple(f) e para melhorar a apresentação usa-se pretty(y)

Representação gráfica Para representar graficamente uma expressão simbólica como: syms t y=-5*t^2+20*t+30 ezplot(y)

Simulação de um tanque de nível O tanque de nível está representado pela equação: A solução analítica pode ser calculada como: h=dsolve('Dh=q/A-Cv*h') e a solução pode ser observada usando pretty(h)

Para representar graficamente usa-se a função ezplot, mas antes devem ser substituídos os valores de q,A,C1 e Cv h=subs(h, 'q',2) h=subs(h, 'C1',5) h=subs(h, 'Cv',1) h=subs(h, 'A',10) ezplot(h)

Problema Proposto Resolver y”-xy-y=0 Para resolver y=dsolve('D2y-x*Dy-y=0','y(0)=1','Dy(0)=2', 'x') Para representar graficamente ezplot(y)

Pellet de Catalisador O pellet está representado pela equação: E a linha de comando para resolver é: Ca=dsolve('x^2*D2y+x*Dy-x^2*y*k=0','Dy(0)=0','y(R)=Cas','x') Ca=subs(Ca,'Cas',1) Ca=subs(Ca,'k',1) Ca=subs(Ca,'R',1) plot(1/besseli(0,1)*besseli(0,[0:0.01:1]))

Exemplos

Soluções caso1 caso2 y=dsolve('Dy=1+y^2','x') y=dsolve('2*x*y*Dy-y^2+x^2=0','y(1)=1','x') ezplot('(-x^2+2*x)^(1/2)')

Problemas sugeridos