Dedução Natural Universidade Tecnológica Federal do Paraná Curso de Engenharia de Computação
Método da dedução natural Deduzir uma conclusão a partir de premissas. Regras de inferência. Método prático.
Regras de inferência Quantas regras se pode ter num sistema? Mínimo: duas regras para cada operador – introdutora e eliminadora. Regras de inferência diretas. Regras de inferência hipotéticas. Regras de inferência derivadas.
Regras de inferência diretas Dupla Negação (DN): ¬¬ Modus Ponens (MP): Conjunção (C): Separação (S): Expansão (E):
Regras de inferência diretas Silogismo Disjuntivo (SD): ¬ ¬ Condicionais para Bicondicional (CB): Bicondicional para Condicionais (BC):
Exemplo de dedução Pa (Qab Cq), (Qab Cq) Dc, Dc (E (¬E Fba)), Pa, ¬E ╞ Fba. 1. Pa (Qab Cq) P 2. (Qab Cq) Dc P 3. Dc (E (¬E Fba)) P 4. Pa P 5. ¬E P ?Fba
1. Pa (Qab Cq) P 2. (Qab Cq) Dc P 3. Dc (E (¬E Fba)) P 4. Pa P 5. ¬E P ?Fba 6. Qab Cq 1, 4 MP 7. Dc 2, 6 MP 8. E (¬E Fba) 3, 7 MP 9. ¬E Fba 5, 8 SD 10. Fba 5, 9 MP
Definições “Definição 1: Sejam um conjunto qualquer de fórmulas e uma fórmula. Uma dedução de a partir de é uma sequência finita 1,...,n de fórmulas, tal que n = e cada i, 1 i n, é uma fórmula que pertence a ou foi obtida a partir de fórmulas que aparecem antes na sequência, por meio da aplicação de alguma regra de inferência.” (MORTARI, 2001:242)
Definições “Definição 2: Sejam um conjunto qualquer de fórmulas e uma fórmula. Dizemos que é consequência lógica (sintática) de , o que denotamos por ├ , se há uma dedução de a partir de .” (MORTARI, 2001:243)
Exemplos {Pa (Qab Cq), (Qab Cq) Dc, Dc (E (¬E Fba)), Pa, ¬E} ├ Fba. {1,...,n} ├ 1,...,n ├
Regras de inferência hipotéticas Se Miau é um gato típico, ele não gosta de nadar. Se não gosta de nadar, então não pratica pesca submarina. Logo, se Miau é um gato típico, Miau não pratica pesca submarina. Gm ¬Nm, ¬Nm ¬Pm ├ Gm ¬ Pm. 1. Gm ¬Nm P 2. ¬Nm ¬Pm P ?Gm ¬ Pm 3. | Gm H ?¬Pm
1. Gm ¬Nm P 2. ¬Nm ¬Pm P ?Gm ¬ Pm 3. Gm H ?¬Pm 4. ¬Nm 1, 3 MP 5. ¬Pm 2, 4 MP 6. Gm ¬Pm 3-5 RPC
Regra de prova condicional Formulação :
Uso apropriado da RPC Introduzir na derivação uma linha vertical toda vez que uma hipótese adicional for introduzida. Não usar uma fórmula que ocorre à direita de uma linha vertical depois de terminada essa linha. Descartar as hipóteses na ordem inversa em que foram introduzidas. Uma dedução não termina enquanto não forem descartadas todas as hipóteses adicionais.
Regras de inferência hipotéticas Cb ¬Fnp ├ ¬(Cb Fnp) 1. Cb ¬Fnp P ?¬(Cb Fnp) 2. Cb Fnp H ?CTR 3. Cb 2 S 4. ¬Fnp 1, 3 MP 5. Fnp 2 S 6. Fnp ¬Fnp 4, 5 C 7.¬(Cb Fnp) 2-6 RAA
Regra de redução ao absurdo Formulação: ¬ ¬
Regras de inferência derivadas São as regras que podem ser provadas a partir das regras mencionadas anteriormente. Podem ser consideradas como uma maneira de abreviar parte de uma dedução.
Regras de inferência derivadas Modus Tollens (MT): ¬ ¬ Silogismo Hipotético(SH): Contraposição ¬¬ Dupla Negação (DN): ¬¬ Contradição (CTR): ¬ Leis de De Morgan (DM): ¬( ) ¬( ) ¬ ¬ ¬ ¬
Teoremas Definição 3: Uma fórmula é um teorema (do CQC) se há uma dedução de a partir do conjunto vazio de premissas. Assim, é um teorema se e somente se ├ , o que abreviamos escrevendo simplesmente ├ .
Teoremas Exemplo: ├ (Fa Gb) Fa. 1. Fa Gb H 2. Fa 1 S 3. (Fa Gb) Fa. 1-2 RPC
Consequência sintática e consequência semântica Teorema de Correção e Completude ├ se e somente se ╞ é uma consequência sintática de se e somente se é uma consequência semântica de .
O método de dedução natural é um sistema de prova correto e completo. Correto porque se uma conclusão pode ser deduzida de um conjunto de premissas, então ela de fato é consequência lógica (semântica) de . E completo porque, se uma fórmula é consequência lógica (sintática) de um conjunto de premissas, há uma dedução demonstrando isso.