FORMA NORMAL BSI Alunos: Emerson Shigueo Sugimoto Rodrigo Cirino Andrade Vagner Vengue

FORMA NORMAL Uma fórmula normal são as fórmulas da lógica proposicional apresentadas num formato definido, ou seja, são fórmulas que são moldadas para serem exibidas em um formato definido. 2 principais: FNC – forma normal conjuntiva e a FND – forma normal disjuntiva, exemplos: H = (¬P Λ Q) V (¬R Λ ¬Q Λ P) V (P Λ S) – forma normal disjuntiva (V). G = (¬P V Q) Λ (¬R V ¬Q V P) Λ (P V S) – forma normal conjuntiva (Λ).

FNC - Forma Normal Conjuntiva (Clausal) PROLOG – inferência resolução; Elemento Básico: Literal (p ou ¬p); Cláusula = disjunção (V) de literais - L1 V L2 V ... Ln (exemplo: p V q) LEIS DE MORGAN Redefinir “→” em termos de “V” e “¬”: (X → Y) Empurrar as negações para o interior por meio de: ¬ (X V Y) ¬ ¬ (X Λ Y) Eliminação da dupla negação: ¬¬ X Distributividade de V sobre Λ: X V (Y Λ Z) Apesar de gerar uma fórmula FNC, ele pode gerar fórmulas exponencialmente maiores que a fórmula de entrada. O problema esta no passo 4 da distributividade, que causa a duplicação da subfórmula X, que por sua vez pode ser no formato (X1 Λ X2), que poderá gerar uma nova duplicação. (¬X V Y) X Λ ¬Y ¬X V ¬Y X (X V Y) Λ (X V Z)

TABELAS VERDADE - LEIS (X → Y) (¬X V Y) ¬ (X V Y) ¬X Λ ¬Y 1 ¬ (X V Y) ¬X Λ ¬Y X ¬X Y ¬Y X V Y ¬ (X V Y) ¬X Λ ¬Y 1 ¬ (X Λ Y) ¬X V ¬Y X ¬X Y ¬Y X Λ Y ¬ (X Λ Y) ¬X V ¬Y 1

TABELAS VERDADE - LEIS ¬¬ X X X V (Y Λ Z) (X V Y) Λ (X V Z) X ¬X ¬¬X 1 1 X V (Y Λ Z) (X V Y) Λ (X V Z) X Y Z Y Λ Z X V (Y Λ Z) X V Y X V Z (X V Y) Λ (X V Z) 1

TRANSFORMAÇÃO LINEAR PARA FNC COM ADIÇÃO DE NOVOS ÁTOMOS Redefinir “→” em termos de “V” e “¬”: (X → Y) (¬X V Y) Empurrar as negações para o interior por meio de: ¬ (X V Y) ¬ X Λ ¬Y ¬ (X Λ Y) ¬X V ¬Y Eliminação da dupla negação: ¬¬ X X Inserção de novo átomo p: X V (Y Λ Z) (X V p) Λ (¬p V Y) Λ (¬p V Z) Λ (¬Y V ¬Z V p) Repare no conectivo de conjunção Λ:

Estudo p ↔ (Y Λ Z) Introduzido p, onde p ↔ (Y Λ Z) (↔ = bi-implicação) 1. Desmembrando ↔ em dois (desmembrando p ↔ (Y Λ Z) ): (p → (Y Λ Z)) Λ (Y Λ Z → p) 2. Eliminando “→”, aplicando a redefinição de “→” em termos de “V” e “¬” (X → Y) (¬X V Y): (¬p V (Y Λ Z)) Λ (¬(Y Λ Z) V p) 3. Leis De Morgan, empurramos a negação adentro (convertendo V em Λ): (¬p V (Y Λ Z)) Λ (¬Y V ¬Z V p). O 2º elemento esta já está no FNC, no 1º elemento aplicado a distribuição de V sobre Λ: 2 3

VANTAGEM FNC Representação e solução de problemas envolvendo fórmulas proposicionais, pois para se satisfazer uma fórmula do formato clausal, basta satisfazer um literal em cada uma das suas cláusulas, e para falsificar uma fórmula no formato clausal, basta falsificar todos os literais de uma única cláusula, ou seja, falsificar uma cláusula. Por exemplo, para satisfazer a fórmula (¬p V Y) Λ (¬p V Z): VALORAÇÃO DE (¬P V Y) Λ (¬P V Z) E para falsificá-la: p ¬p Y Z (¬p V Y) Λ (¬p V Z) 1 p ¬p Y Z (¬p V Y) Λ (¬p V Z) 1

CONVERSÃO COM TABELAS VERDADE Considere a fórmula: H = (P → Q) Λ R, sua tabela verdade é: TABELA VERDADE ((P → Q) Λ R) As linhas que interpretam (I) a fórmula (P → Q) Λ R como Falsa são as linhas 2,3,4,6 e 8. De acordo com a linha 2, {I[P]=T e I[Q]=T e I[R]=F}, na elaboração da FNC I[P] = T, considera-se ¬P e I[R] = F, considera- se R (I = interpretação). Assim: 2ª linha: ¬P V ¬Q V R 3ª linha: ¬P V Q V ¬R 4ª linha: ¬P V Q V R 6ª linha: P V ¬Q V R 8ª linha: P V Q V R A FNC de (P → Q) Λ R é: (¬P V ¬Q V R) Λ (¬P V Q V ¬R) Λ (¬P V Q V R) Λ (P V ¬Q V R) Λ (P V Q V R) Linhas P Q R (P → Q) Λ R 1 T 2 F 3 4 5 6 7 8

CLÁUSULAS DE HORN As Cláusulas de Horn são cláusulas (conjunto de literais) na forma disjuntiva com no máximo um literal positivo. Exemplo: ¬ p V ¬ q V. . . V r Tipos de cláusulas: Fatos Regras Consultas ou Restrições

FATOS Fatos são cláusulas com apenas um literal positivo e são usadas para afirmar que um literal é válido. Exemplos: { p }, { q }, { r }

REGRAS Regras são cláusulas com exatamente um literal positivo. Exemplos: ¬ p V ¬ q V r ¬ r V s ¬ A V b

CONSULTAS OU RESTRIÇÕES Consultas ou Restrições são cláusulas com apenas literais negativos. Exemplos: ¬ p V ¬ q V ¬ r ¬ r V ¬ s ¬ (p Λ q Λ r)

FÓRMULAS DE HORN Fórmulas de Horn são um conjunto de cláusulas de Horn na forma normal conjuntiva. Exemplos: (¬ p V q) Λ (r V ¬ s) Λ (a V ¬a) Λ (a V ¬b) (¬ r V B) Λ (A V ¬ g) (p) Λ (¬ r V s)

CLÁUSULAS DE HORN E RESOLUÇÃO Uma das propriedades das cláusulas de Horn é a respeito do princípio da resolução: Duas cláusulas de Horn inferem uma nova cláusula de Horn: R V p ¬ p V S ______________________________ R V S Sendo uma das bases para programação lógica.

Forma Normal Disjuntiva (FND) Na lógica booleana, uma forma normal disjuntiva (FND) é uma normalização de uma fórmula lógica no qual temos uma disjunção de conjunções de literais. Uma conjunção de literais disjuntivos tem a forma de: A1 Λ A2 Λ...Λ An

Metodos de resolução. Toda fórmula proposicional podemos transformar em uma forma do tipo disjuntiva para isso podemos usar meios como : Lei da Dupla Negação Leis de Morgan, e Distributividade de átomos.

A disjunção entre duas fórmulas só é verdadeira quando ao menos uma delas é verdadeira. Repare que a disjunção também é comutativa:

«Gosta de Lógica» - proposição L «Gosta de Métodos» - proposição M Veja essas proposições: Proposição I - «Gosta de lógica e/ou gosta de método» ( L V M ) Proposição E - «Ou gosta de lógica ou gosta de métodos» ( L VV M ) Ambas as proposições são o resultado da disjunção das duas proposições simples: «Gosta de Lógica» - proposição L «Gosta de Métodos» - proposição M Logo sabemos que há: A proposição I é a que podemos chamar de disjunção inclusiva (V). A proposição E é a que podemos chamar de disjunção exclusiva (VV)

Exemplos de forma normal disjuntiva: Todavia, as seguintes fórmulas não estão na FND: — NÃO é o operador mais extremo — um OU está aninhado com um E

De acordo com o que vemos nas leis de Morgan, numa expressão da forma conjuntiva temos: ¬(P Λ Q) <-> (¬P V ¬Q) Podemos aferir o contrário pela bi-implicação, obtendo uma formula disjuntiva: (¬P V ¬Q) <-> ¬(P Λ Q)

Considere a fórmula: H = (P → Q) Λ R, sua tabela verdade é : Apartir das três linhas (1, 5 e 7), obtêm-se: P Λ Q Λ R, ¬P Λ Q Λ R e ¬P Λ ¬Q Λ R Convertendo a fórmula (P → Q) Λ R em FND, fica: (P Λ Q Λ R) V (¬P Λ Q Λ R) V (¬P Λ ¬Q Λ R).

TRANSFORMAÇÃO NA FND SEM ADIÇÃO DE NOVOS ÁTOMOS Entrada: Uma fórmula B. Saída: Uma fórmula A na FND, B ≡ A. 1: para todas as subfórmulas X, Y, Z de B faça 2: Redefinir “→” em termos de “V” e “¬”: (X → Y) (¬X V Y) 3: Empurrar as negações para o interior por meio das leis De Morgan: ¬ (X V Y) ¬X Λ ¬Y ¬ (X Λ Y) ¬X V ¬Y 4: Eliminação da dupla negação: ¬¬ X X 5: distributividade de Λ sobre V : X Λ ( Y V Z ) ( X Λ Y ) V ( X Λ Z) 6: fim para 7: A fórmula A é obtida quando não há mais substituições possíveis. Repare no conectivo de disjunção V: X Λ ( Y V Z ) ( X Λ Y ) V ( X Λ Z)

CONCLUSÃO FORMAS NORMAIS Conjuntiva: (X V Y) Λ (X V Z) Disjuntiva: (X Λ Y) V (X Λ Z) CLÁUSULAS DE HORN {P V ¬q}, {¬ r V s}, {¬ Y V ¬ X V z}