LÓGICA MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA Profa.: Ana Florência afcmor@gmail.com

Apresentação Prof. Ana Florência Chagas Mota Formado em Sistemas de Informação – UFPI Especialista em Redes e Segurança de Sistemas- INTA Mestrando em Ciência da Computação – UFMA Linha de Pesquisa: Computação Gráfica Processamento de Imagens Redes de Computadores etc E-mail: afcmor@gmail.com

Objetivos Geral Desenvolver o raciocínio lógico-matemático, utilizando a lógica como recurso para o desenvolvimento de habilidades em informática, em particular, programação estruturada e análise de algoritmos;

Objetivos Específicos 1. Conhecer os mecanismos lógicos necessários para realizar um processo dedutivo; 2. Conhecer os procedimentos, conceitos, descrições e representações lógicas do conhecimento humano; 3. Familiarizar-se com a inferência lógica e reconhecer como esta pode ser usada em informática e em outras ciências. 4. Utilizar as estruturas Lógicas de Decisão na construção de Algoritmos e sistemas computacionais.

Conteúdo Programático MÓDULO I – Lógica Proposicional- 30 h 1. Proposições e Conectivos; 2. Conectivos: Negação, Conjunção, Disjunção, Condicional e Bicondicional; 3. Construção da tabela verdade de uma proposição composta e 4. Tautologia, Contradição e Contingência.

MÓDULO II – Lógica de Predicados - 30h 1. Sentenças Abertas e Quantificadores 2. Quantificadores Universal e Existencial; 3. Interpretação, valor lógico de uma proposição com Quantificador; 4. Negação de proposições com Quantificadores universal e existencial; 5. Implicação e equivalência entre proposições Quantificadas; 6. Definição de argumento: premissa e conclusão; 7. Validade de um argumento; 8. Axiomas, Regras de Inferência e Teoremas: prova formal de validade 9. Teoremas e argumentos válidos.

MÓDULO III – Lógica Digital - 20h 1. Conectivos Lógicos e Portas Lógicas; 2. Circuitos Sequenciais 3. Circuitos Combinacionais; 4. Confecção de Circuitos Lógicos Digitais; 5. Expressões Booleanas; 6. Funções Booleanas; 7. Circuitos e Expressões;

Ementa Sentido Lógico-matemático convencional dos conectivos. Argumentos. Regras de formação de fórmulas. Sistemas dedutivos. Lógica Sentencial. Decidibilidade da Lógica Sentencial. A Lógica de Predicados de primeira ordem. Valores-verdade. Funções de Avaliação.

Bibliografia Básica ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à lógica matemática. São Paulo: Nobel, 1975. DAGLIAN, Jacob. Lógica e álgebra de Boole. 4ed, São Paulo: Atlas, 1995. GERSTING, Judith L. Fundamentos matemáticos para a ciência da computação. 4ed, Rio de Janeiro: LTC, 2001.

Bibliografia Complementar LIMA, Elon Lages et al. A matemática do ensino médio. vol 1 e 2, Rio de Janeiro: SBM, 1996. IEZZI, Gelson et al. Fundamentos de matemática elementar. vol 1 e 5, Rio de Janeiro: Atual, 1993. PAIVA, Manoel. Matemática II. São Paulo: Moderna, 2000.

Aulas Quarta- feira: 19:00 – 20:40h Quinta- feira: 19:00 – 20:40h

Notas P1 = prova 1; C= case; P2= prova 2.

LÓGICA MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL

O que é lógica

Lógica é: é o estudo sobre a natureza do raciocínio e do conhecimento.

Usada: para formalizar e justificar os elementos do raciocínio empregados nas demonstrações / provas de teoremas.

Baseada: em um mundo bivalente ou binário (visão restrita do mundo real), onde os conhecimentos são representados por sentenças que só podem assumir dois valores verdade (verdadeiro ou falso).

Lógica Proposicional a forma mais simples de lógica. Nela os fatos do mundo real são representados por sentenças sem argumentos, chamadas de proposições. Exemplo:

Definição (proposição) uma proposição é uma sentença, de qualquer natureza, que pode ser qualificada de verdadeiro ou falso. Exemplo: 1 + 1 = 2 é uma proposição verdadeira da aritmética. 0 > 1 é uma proposição falsa da aritmética.

Observação! Se não é possível definir a interpretação (verdadeiro ou falso) da sentença, esta não é uma proposição. Alguns exemplos deste tipo de sentença são apresentados abaixo: Frases Interrogativas (ex: Qual o seu nome?). Frases Imperativas (ex: Preste atenção!). Paradoxos Lógicos (ex: Esta frase é falsa).

Exercício 1

Lógica e Informática Na computação, a lógica pode ser utilizada, entre outras coisas, para: Conceber circuitos lógicos (o raciocínio do computador é um raciocínio lógico); Representar conhecimento (programação lógica); Validar algoritmos e corrigir programas (testes lógicos das especificações em engenharia de software).

SINTAXE

Linguagem e alfabeto O conjunto de fórmulas da lógica proposicional é denominado L∅ (lógica de ordem ∅). Cada fórmula deste conjunto é uma proposição gerada pela concatenação de símbolos pertencentes ao alfabeto da lógica proposicional, definido inicialmente.

Este alfabeto é infinito, constituído por: Símbolos verdade: true e false; Símbolos proposicionais: P, Q, R, S, P1, P2, P3, etc; Conectivos proposicionais: ¬ (não), ∨ (ou inclusivo), ∧ (e), → (implica ou “se, então”) e ↔ (equivalência, bi-implicação ou “se e somente se”); e - Símbolos de pontuação: ( e ).

Regras As fórmulas proposicionais são construídas, a partir do alfabeto proposicional, de acordo com as seguintes regras: 1. Todo símbolo verdade é uma fórmula; 2. Todo símbolo proposicional é uma fórmula; 3. Se P é uma fórmula, então a sua negação (¬P) também é uma fórmula; 4. Se P e Q são fórmulas, então: 4.1. A disjunção de P e Q (P ∨ Q) também é uma fórmula; 4.2. A conjunção de P e Q (P ∧ Q) também é uma fórmula; 4.3. A implicação de P em Q (P → Q) também é uma fórmula; 4.4. A bi-implicação de P e Q (P ↔ Q) também é uma fórmula;

Exemplos de Fórmulas Válidas (P ∨ Q) ( (¬R) → X) ( (P ↔ (¬Y) ) ∨ (Q → (R ∧ V) ) ) As construções acima são fórmulas proposicionais, pois podem ser derivadas a partir da aplicação das regras de construção descritas. Exemplos de Fórmulas Inválidas PQR (R True →) ( False ∨∧ (↔ Q P) ) As construções acima não constituem fórmulas proposicionais, pois não é possível derivá-las a partir das regras descritas.

Exercício 2

Precedência dos conectivos Os símbolos de pontuação (parênteses), assim como na aritmética, são empregados para priorizar um “cálculo proposicional”. Esses símbolos podem ser omitidos quando isto não altera o significado da fórmula proposicional. Ex: ((¬(¬P)) → Q) ≡ ¬¬P → Q OBS: A fórmula ¬(X ∧ Y) não pode ser escrita sem parênteses: ¬(X ∧ Y) ≠ ¬X ∧ Y.

Se em uma fórmula, os parênteses não são usados, o cálculo proposicional deve seguir a seguinte ordem de prioridade: ¬ (maior precedência) → e ↔ (menor precedência) ∨ e ∧ (precedência intermediária) Ex: P ∨ Q → R ≡ (P ∨ Q) → R ¬P ∧ Q ↔ R ≡

Exercício 3

Exercício de Fixação

Obrigada! Por hoje é só!!!

LÓGICA MATEMÁTICA E FUNDAENTAL Aula 1 01/08/2013 Proposições e Operadores Lógicas Construção de Tabelas – Verdade para Fórmulas Tautologias

Comprimento de Fórmula O comprimento de uma fórmula proposicional H, denotado COMP[H], é definido como segue: Se H é um símbolo verdade ou proposicional, então COMP[H] = 1; Se ¬H é uma fórmula proposicional, então COMP[¬H] = COMP[H] + 1; - Se (P v Q) é uma fórmula proposicional, sendo v um dos conectivos binários, então COMP[P v Q] = COMP[P] + COMP[Q] + 1. Ex: COMP[ (P ∧ Q) ↔ R ]

Subfórmulas O conjunto formado pelas subfórmulas de uma fórmula proposicional contém todos os pedaços válidos desta fórmula, inclusive ela mesma. Este conjunto é formado pelas seguintes regras: H é uma subfórmula de H; Se H = (¬P), então P é uma subfórmula de H; Se H = (P -> Q), sendo -> um dos conectivos binários, então P e Q são subfórmulas de H; - Se P é subfórmula de H, então toda subfórmula de P também é subfórmula de H.

Semântica A semântica associa um significado a cada objeto sintático. Assim, quando se escreve a fórmula P∧Q, dependendo dos valores de P e Q, esta fórmula pode ser verdadeira ou falsa. .....

Proposições e Operadores Lógicos Proposição Lógica Considere que A, B, C, ... sejam símbolos usados para representar (denotar) qualquer frase ou sentença que pode assumir apenas um de dois valores verdade: ou a frase é verdadeira (ela diz uma verdade) ou ela é falsa (diz uma falsidade). Diz-se também que os símbolos A,B, C, ... denotarão proposições lógicas.

Conjunção de Proposições Considere que o símbolo ∧ será usado para representar o conetivo “e”, em sentenças como “gatos são mamíferos e canários são aves”, “3 < 5 e 2+3=5”, etc. Diz-se que o símbolo ∧ representa a conjunção lógica das proposições A e B.

Disjunção de Proposições O símbolo ∨ será empregado para representar um dos significados usuais do conetivo “ou” em frases da linguagem natural. O significado assumido por este símbolo é o do “ou inclusivo” que somente será falso se ambas as sentenças sendo conectadas por ele forem falsas, isto é, A ∨ B será falso somente se ambos A e B forem falsos. Diz-se que o símbolo ∨ representa a disjunção lógica das proposições A e B.

Implicação O símbolo → será usado para representar sentenças como “se chover, então a rua ficará molhada”, ou então “não estudar implica em tirar notas baixas” ou também “não fui ao cinema porque o carro estragou” e sentenças similares. Geralmente estas sentenças podem ser reescritas no formato “Se sentença A, então sentença B” que simbolicamente fica apenas: A → B. A noção que este operador lógico pretende capturar é a de existência de implicação ou de consequência entre as sentenças. ....

Dessa forma a sentença B não poderia ser falsa se a sentença A fosse verdadeira. Isto significa que considera-se que a sentença simbolizada por A→B seria falsa somente no caso em que A é verdadeiro e B falso. Nos outros casos a expressão A→B seria verdadeira.

Bi-implicação ou Equivalência Lógica O último conectivo lógico apresentado acima, o conectivo ↔ de bi-implicação ou de equivalência lógica é, na verdade, uma abreviação da seguinte fórmula: (A→B) ∧ (B→A) ou seja: (A↔B) = (A→B) ∧ (B→A)

Construção de Tabelas-Verdade para Fórmulas Para se construir a tabela-verdade de uma fórmula lógica pode-se seguir os seguintes passos: nas colunas à esquerda coloque os símbolos sentenciais simples (A, B, ...), depois (ii) se houverem sentenças simples negadas (¬A, ¬B, ...) coloque-as nas próximas colunas e por fim (iii) seguindo a precedência crie uma coluna para cada fórmula composta (não é necessário repetir as sentenças simples negadas). A última coluna a direita deve ser a expressão ou fórmula final.

A sentenças ou símbolos proposicionais simples pertencentes a uma fórmula definem o número de linhas da tabela-verdade para esta fórmula através de uma regra simples: 1 símbolo: A 2 linhas (21 combinações: V e F) 2 símbolos: A e B 4 linhas (22 combinações: VV, VF, FV, FF) 3 símbolos: A, B e C 8 linhas (23 combinações: VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF) 4 símbolos: A, B, C e D 16 linhas (24 combinações) n símbolos: A, B, ... 2n linhas (2n combinações)

Exercício Agora construa tabelas-verdade para as seguintes fórmulas: (a) (A→B) ↔ (B→A) (b) (A ∨ ¬A) → (B ∧ ¬B) (c) ¬((A ∧ ¬B) → ¬C) (d) (A→B) ↔ (¬B → ¬A) (e) ((A ∧ B ∧ C) ∨ ¬(¬B ∨ A) ∨ (A ∧ ¬C)) → (C ∨ ¬A)

Tautologias Uma tautologia é uma fórmula que assume apenas o valor V, ou seja, que é sempre verdadeira. Uma tautologia é “intrinsecamente verdadeira” pela sua própria estrutura; ela é verdadeira independente de qualquer valor lógico atribuído as suas letras de proposição.

Uma contradição é o oposto de uma tautologia, ou seja, é uma fórmula que assume apenas o valor F independente de qualquer combinação de valores verdade atribuída às proposições lógicas simples que entram em sua composição.

Exercício Descobrir quais das seguintes fórmulas são tautologias, contradições ou fórmulas contingentes (fórmulas “simples” que não são tautologias ou contradições). (a) A ∨ B ↔ B ∨ A (b) (A ∨ B) ∨ C ↔ A ∨ (B ∨ C) (c) ¬(A ∧ B) ↔ ¬A ∧ ¬B (d) (A ∧ B) ∧ B ↔ ¬((B ∧ A) ∧ A)

Exercício de classe

Equivalências Tautológicas e Leis de DeMorgan

Equivalências Tautológicas P e Q sejam fórmulas tautológicas; P bi- implicação Q seja uma tautologia; Sempre que P for V numa dada linha da tabela verdade, a fórmula Q deverá ser V nesta linha. O mesmo acontece quando P for F. Neste caso se diz que P e Q são fórmulas equivalentes. OBS: Essa propriedade é denota pelo operador <-> bi-implicação de equivalência tautológica.

Na tabela a seguir são apresentadas algumas equivalências tautológicas que definem propriedades importantes da disjunção e da conjunção:

Na tabela as seguir são apresentadas equivalências tautológicas que permitem reescrever ou redefinir os outros operadores:

Atividade em sala Demonstrar, pelo uso da tabela- verdade, as equivalências tautológicas acima ( não precisa repetir as demonstrações para a equivalência comutativa, associativa e contraposição).

Leis de De Morgan As equivalências vistas permitem efetuar vários tipos de manipulações ou alterações numa fórmula sem que ela altere seu significado. Maneira de se converter proposições conectadas pelo conectivo (ou) em proposições conectadas pelo conectivo (e). Essas equivalências são denominadas Leis de De Morgan.

Obrigada!