Programação Linear Daniel de Oliveira Isadora Mendes José Alípio Universidade Federal Rural do Semi-Árido Departamento de Ciências Ambientais e Tecnológicas Bacharelado em Engenharia de Produção Professor: MSc. Luiz Carlos Pesquisa Operacional Programação Linear Daniel de Oliveira Isadora Mendes José Alípio

Modelagem Matemática Problemas de Modelagem Matemática têm por objetivo encontrar os valores para as variáveis de decisão que otimizam (maximizam ou minimizam) uma função objetivo respeitando um conjunto de restrições. Alguns tipos de modelos de programação matemática são: Programação linear; Programação inteira; Programação não-linear; Programação dinâmica;

Programação Linear A Programação Linear trata-se, então, de uma técnica de otimização com aplicações amplas e diversificadas ao nível de problemas reais. Características Proporcionalidade Não Negatividade Aditividade Separabilidade

Características da Programação Linear Proporcionalidade: a quantidade de recurso consumido por uma dada atividade deve ser proporcional ao nível dessa atividade na solução final do problema; Não negatividade: deve ser sempre possível desenvolver dada atividade em qualquer nível não negativo e qualquer proporção de um dado recurso deve sempre ser utilizado;

Características da Programação Linear Aditividade: o custo total é a soma das parcelas associadas a cada atividade; Separabilidade: pode-se identificar de forma separada o custo (ou consumo de recursos) específicos das operações de cada atividade.

Componentes da Programação Linear Todo modelo de programação linear tem duas características importantes: Função Objetivo a ser maximizada ou minimizada; Restrições que devem ser respeitadas; Função objetivo: medida de desempenho a ser otimizada Restrições: Atividades que consomem recursos em determinadas proporções, apresentadas em forma de equações ou inequações lineares, uma para cada recurso, considerando os insumos disponíveis dentro de cada atividade.

Componentes da Programação Linear Forma Genérica: Máx. ou Mín.: Z = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn (função matemática que codifica o objetivo do problema - função-objetivo)   Sujeito a: a11x1 + a22x2 + ... + a1nxn < b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn < b2 ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn < bm (funções matemáticas que codificam as principais restrições identificadas)

Componentes da Programação Linear Forma Genérica: xi ≥ 0 e bj ≥ 0, para i = 1, 2, ... , n e j = 1,2, ... , m xi: variáveis decisórias que representam as quantidades ou recursos que se quer determinar para otimizar o resultado global; ci: coeficientes de ganho ou custo que cada variável é capaz de gerar; bj: quantidade disponível de cada recurso; aij: quantidade de recurso que cada variável decisória consome.

Exemplo 01

Função Objetivo Maximizar o lucro na produção de cadeiras do tipo Mate e Captain, sendo que os recursos são limitados. Lucro Máximo: A margem de contribuição unitária (preço menos custo variável unitário) é de R$ 56 sobre cada cadeira Captain que é vendida e de R$ 40 sobre cada cadeira Mate. Max Z = 56C + 40M

Restrições Montar uma cadeira exige pinos longos, pinos curtos, pernas e dois tipos de assentos, que estão disponíveis em estoques limitados que não podem ser aumentados; O estoque de pernas é de 760 e cada cadeira produzida utiliza quatro pernas;

Restrições Para a produção, o estoque de pinos longos e curtos é de 1280 e 1600, respectivamente. Cada cadeira Captain produzida usa oito pinos longos e quatro pinos curtos, enquanto que cada Mate produzida usa quatro pinos longos e doze pinos curtos; O estoque de assentos pesados e de assentos leves é de 140 e 120, respectivamente; O número total de cadeiras produzidas tem de ser superior a 100 unidades.

Dados do Problema

Dados do Problema Restrições Número de assentos leves M < 120 Mate 320 310 300 290 280 270 260 250 240 230 220 210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 Restrições Número de assentos leves M < 120 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 Captain

Dados do Problema Restrições Número de assentos leves Mate 320 310 300 290 280 270 260 250 240 230 220 210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 C < 140 Restrições Número de assentos leves Número de assentos pesados M < 120 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 Captain

Dados do Problema Restrições Número de assentos leves Mate 320 310 300 290 280 270 260 250 240 230 220 210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 C < 140 Restrições Número de assentos leves Número de assentos pesados Produção mínima M < 120 C + M > 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 Captain

Dados do Problema Restrições Número de assentos leves Mate 320 310 300 290 280 270 260 250 240 230 220 210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 C < 140 Restrições Número de assentos leves Número de assentos pesados Produção mínima Número de pernas M < 120 C + M > 100 4C + 4M < 760 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 Captain

Dados do Problema Restrições Número de assentos leves Mate 320 310 300 290 280 270 260 250 240 230 220 210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 8C + 4M < 1280 C < 140 Restrições Número de assentos leves Número de assentos pesados Produção mínima Número de pernas Pinos longos M < 120 C + M > 100 4C + 4M < 760 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 Captain

Dados do Problema Restrições Número de assentos leves Mate 320 310 300 290 280 270 260 250 240 230 220 210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 8C + 4M < 1280 C < 140 Restrições Número de assentos leves Número de assentos pesados Produção mínima Número de pernas Pinos longos Pinos curtos M < 120 4C + 12M < 1600 C + M > 100 4C + 4M < 760 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 Captain

Dados do Problema Restrições Número de assentos leves Mate 320 310 300 290 280 270 260 250 240 230 220 210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 8C + 4M < 1280 C < 140 Restrições Número de assentos leves Número de assentos pesados Produção mínima Número de pernas Pinos longos Pinos curtos M < 120 4C + 12M < 1600 C + M > 100 4C + 4M < 760 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 Captain

Solução Ótima

Softwares ↑ Variáveis e restrições = ↑ Robusticidade do programa; Caso Delta Airlines: Especificação de tipos de frotas; 40 mil restrições e 60 mil variáveis. Problemas de médio e pequeno portes; Ferramenta Solver.

Exemplo 02

Função Objetivo Maximizar o lucro semanal da produção de dois tipos de brinquedos de madeira (soldados e trens), considerando os custos de mão-de-obra e matéria-prima. Soldado (S): Preço de venda: R$ 27; MP: R$ 10; MO: R$ 14. Trem (T): Preço de venda: R$ 21; MP: R$ 9; MO: R$ 10. Receita por semana = 27*S + 21*T Custos de MP = 10*S + 9*T Custos de MO = 14*S + 10*T LUCRO = (27*S + 21*T) - (10*S + 9*T) - (14*S + 10*T) = 3S + 2T

Restrições Tipos de mão-de-obra: Acabamento; Carpintaria; Soldado: 2 horas de A e 1 hora de C; Trem: 1 hora de A e 1 hora de C; Não mais que 100 horas semanais de acabamento; Total de h de A/semana = 2S + 1T ≤ 100 Não mais que 80 horas semanais de carpintaria; Total de h de C/semana = 1S + 1T ≤ 80 Não mais que 40 soldados por semana. S ≤ 40

Descrição das equações Max L = 3S + 2T Sujeita a: 2S + T ≤ 100 S + T ≤ 80 S ≤ 40 Organizando:

Exemplo 03

Exemplo Uma empresa fabrica dois produtos A e B. Cada um deste produtos requer uma certa quantidade de tempo na linha de montagem e ainda mais algum para a sua finalização. Cada produto do tipo A necessita de 5 horas na linha de montagem e de 2 horas para a finalização. Cada produto de tipo B necessita de 3 horas na linha de montagem e de 4 horas para a finalização. Numa semana, a empresa dispõe de 108 horas para a linha de montagem e 60 horas para a finalização. Toda a produção é vendida. O lucro de cada produto é de R$ 120,00 para o produto A e de R$ 210,00 para o B. Quantas unidades, por semana, dos produtos A e B se devem produzir, de modo a que o lucro seja máximo?

Exemplo MONTAGEM FINALIZAÇÃO LUCRO A 5 2 120 B 3 4 210 DISPONIBILIDADE 108 60 -

Exemplo

Exemplo Teorema Dado um problema de programação linear, se S for a região admissível e for limitada então existe um máximo e mínimo em S e cada um destes ocorre pelo menos num dos vértices da região. Se S não for limitada, então pode não existir nem máximo nem mínimo. Mas se existir ele encontra-se num vértice de S.

Exemplo X Y L = 120x + 210y O A 21,6 2592 B 18 6 3420 C 15 3150

Curiosidade

Bibliografia CAIXETA-FILHO, José Vicente. Pesquisa Operacional: técnicas de otimização aplicadas a sistema agroindustriais. 2 ed. São Paulo: Atlas, 2004. GOLDBARG, Marco Cesar; LUNA, Henrique Pacca L. Otimização combinatória e programação linear: modelos e algortimos. Rio de Janeiro: Campus, 2000. 5ª tiragem. MOORE, Jeffrey H.; WEATHERFORD, Larry R. Tomada de decisão em administração com planilhas eletrônicas. 6 ed. Porto Alegre: Bookman, 2005.