Cortes (cut-sets)‏ 1

Corte por arestas Em um grafo conexo G, um corte de arestas é um conjunto de arestas cuja remoção de G torna G desconexo, desde que nenhum subconjunto próprio desse conjunto também desconecte G Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 2

Corte por arestas rank de um grafo: r = n - (G)‏ Subconjunto minimal de arestas de maneira a garantir a conexidade de cada componente do grafo corte de arestas: subconjunto minimal de arestas cuja remoção reduz o rank de um grafo de uma unidade. Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 3

Corte por arestas corte de arestas: subconjunto minimal de arestas cuja remoção acarreta uma partição no grafo. Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 4

Corte por Aresta (Bondy & Murty)‏ Para subconjuntos S e S’ de V, denotamos por [S, S´] o conjunto de arestas com um extremo em S e outro em S´ Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 5

Corte por Aresta (Bondy & Murty)‏ Para subconjuntos S e S’ de V, denotamos por [S, S´] o conjunto de arestas com um extremo em S e outro em S´ Seja C um subconjunto de E da forma [S, S´], onde S é um subconjunto não vazio e próprio de V e S´=V-S Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 6

Corte de arestas (bond) Se C é minimal, então C é um corte de arestas de G. Se G é conexo, então C é um subconjunto minimal de E tal que G-C é desconexo. Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 7

Propriedades Todo corte de arestas de um grafo conexo G deve conter pelo menos uma aresta de toda árvore geradora de G; Em um grafo conexo G, qualquer conjunto minimal de arestas contendo pelo menos uma aresta de qualquer árvore geradora de G é um corte de arestas; Todo ciclo possui um número par de arestas em comum com qualquer corte de arestas Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 8

Exemplo: G Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 9

Exemplo: G a b Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 10

Exemplo: G a Conjunto de arestas que desconecta o grafo! b Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 11

Exemplo: G a Mas não é minimal!!! b Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 12

Exemplo: G a É um corte de arestas (bond)!! b Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 13

Cotree Se H é um subgrafo de G, o complemento de H em G, denotado por H é o subgrafo G-E(H). Se G é conexo, e T é uma árvore geradora de G, então T é dita cotree de G Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 14

Teorema: Seja T uma árvore geradora de um grafo conexo G e seja a uma aresta de T. Então: a cotree T não contém corte de aresta de G; T + a contem um único corte de arestas de G. Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 15

Prova Exercício!!!!!!!!!! Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 16

Corte de vértices Subconjunto minimal de vértices V´  V, cuja remoção de G o desconecta ou o transforma em um grafo nulo. G – V´: desconexo ou nulo e  subconjunto próprio V´´ V´, G – V´´ é conexo e não nulo. Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 17

Conectividade e Separabilidade Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 18

Conectividade de arestas Em um grafo conexo G, o número de arestas do menor corte de arestas de G é definido como conectividade de arestas de G (K´ (G))‏ K´ (G): número mínimo de arestas cuja remoção reduz o rank de G em uma unidade. K´(T) = ????, onde T é uma árvore. Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 19

Conectividade de vértices O número mínimo de vértices que desconecta o grafo G ou o reduz a um único vértice é definido como conectividade de vértices de G (K (G))‏ K(T) = ????, onde T é uma árvore. Conectividade de vértices tem sentido apenas para grafos conexos com mais de três vértices e não completos. Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 20

Conectividade de vértices K´(G) = K(G) = 0, G desconexo K(G)  n – 2,  G  Kn Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 21

Grafo separável Um grafo G é dito separável quando K(G) = 1. Neste caso, G pode ser decomposto em subgrafos G1 e G2 tal que G1 e G2 tem apenas um vértice em comum. Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 22

Articulação Vértice cuja remoção desconecta o grafo. Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 23

Teorema Seja G (V,E) um grafo conexo, |V| > 2. Então: a) Um vértice v de V é articulação sss existem dois vértices x e y em G, x, y  v, tais que todo caminho entre x e y passa por v; b) Uma aresta {p,q} de E é ponte sss {p, q} for o único caminho entre p e q em G. Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 24

Maior conectividade de vértices e arestas Exemplo Suponha que são dadas n estações que devem ser conectadas por e linhas, e ≥ n-1. Qual é a melhor maneira de conectá-las, de maneira a evitar sua destruição devido à destruição de estações individuais e/ou linhas individuais? Maior conectividade de vértices e arestas Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 25

Exemplo n = 8 e m = 16 K(G) = ? K'(G) = ?

Teorema A conectividade de arestas de um grafo G não pode exceder o grau do vértice com o menor grau de G Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 27

Prova Seja w o vértice de grau mínimo de G ()‏ É possível desconectar G, removendo-se as  arestas incidentes a w.  ≥ K´(G) Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 28

Teorema A conectividade de vértices de um grafo G não pode exceder a conectividade de arestas de G Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 29

Questão Sejam G = (V,E) um grafo e E´ um corte de arestas de G. É sempre possível encontrar um corte de vértices V´ tal que |V´|  |E´|? Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 30

G, K(G)  K´(G)‏  Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 31

Corolário Todo corte de arestas em um grafo não separável com mais de dois vértices contém pelo menos duas arestas Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 32

Teorema O valor máximo de K(G) de um grafo G = (V,E), com n vértices e m arestas (m ≥ n-1) é 2m/n Teoria dos Grafos 33