Edgar Dias Nuno Santos Sílvia Dias Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa Simbolização Edgar Dias Nuno Santos Sílvia Dias Didáctica da Álgebra Prof. Dr. João Pedro da Ponte 3 de Junho de 2006

Representações Internas Externas Podem ser mais ou menos icónicas Estruturas mentais humanas destinadas a codificar, armazenar, recolher ou transformar informação (Izsák, 2003) Externas Artefactos humanos criados para pensar ou transmitir informação relacionada com um contexto distinto desses artefactos. (Izsák, 2003) Podem ser mais ou menos icónicas Não icónico  simbólico “A maioria das representações matemáticas dão não icónicas” (Janvier, Girardon, & Morand, 1993, p.82) Focar aqui que Janvier, Girardon e Morand (1993) apresentam 3 categorias principais para as representações externas, defendidas por Bertin, mas que consideram em termos educativos de maior importância analisar a relação entre as representações externas e internas. Relação entre os dois tipos de representações Homonimia Sinonimia (translacção) Rep. Int. 1 Rep. Ext. 1 y=x2 Rep. Ext. Rep. Int. Rep. Int. 2 Rep. Ext. 2 f(x)=x2 2x Função x2 Simbolização n.º2

Definição Símbolo Copiável Não copiável São entidades que representam ou tomam o lugar de qualquer coisa diferente. (…) podem assumir uma variedade de formas, desde objectos concretos a marcas escritas no papel. (Hiebert, 1988) Copiável Pode ser produzido por pessoas diferentes em diferentes ocasiões sem perder a sua identidade. (Goodman, 1968 em Hiebert, 1988) Re-presentação é uma das funções dos símbolos copiáveis. Não copiável Perde a sua identidade com pequenas alterações nas suas características físicas. (Goodman, 1968 em Hiebert, 1988) Simbolização n.º3

Sentido de Símbolo Componentes mais importantes: Fazer amizade com os símbolos; Capacidade de manipular e de “ler através” de expressões simbólicas; Consciência de que os símbolos podem representar relações simbólicas que expressam uma determinada informação; Capacidade de seleccionar uma possível representação simbólica; Consciência da necessidade de rever os significados dos símbolos durante uma actividade; Consciência de que os símbolos podem desempenhar papeis distintos, variando de acordo com o contexto. Simbolização n.º4

Sentido de Símbolo A caracterização da ideia não está completamente desenvolvida. Como se desenvolve nas crianças o sentido dos símbolos? Está fortemente ligado à cultura de sala de aula; Não é apenas cognitivo. O que podemos fazer? Torná-los objecto de discussão na aula; Estimular a expressão de percepções subjectivas acerca dos símbolos; Respeitar e estimular ideias parcialmente desenvolvidas; Nem sempre nos preocuparmos em obter a resposta certa; Ter paciência intelectual. Ser competente em álgebra escolar consiste em... Acções desprovidas de significado Aplicação do sentido comum em busca de significados Simbolização n.º5

Desenvolvimento de competências Teorias para... Hiebert (1988) Considerações cognitivas (sem descurar o aspecto emotivo) Sucessão sequencial de 5 processos cognitivos: 1 – Conexão entre os símbolos individuais e seus referentes 2 – Desenvolvimento de procedimentos de manipulação simbólica 3 – Elaboração de procedimentos para símbolos 4 – Mecanização de procedimentos para manipulação simbólica 5 – Uso de símbolos e regras como referentes para construir sistemas simbólicos mais abstractos Mason (1980) – Esquema de Mason Doyle (1988) – Ênfase no tipo de tarefas propostas aos alunos Simbolização n.º6

Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º7 “We Want a Statement That Is Always True”: Criteria for Good Algebraic Representations and the Development of Modeling Knowledge Izsák, 2003 Questão do estudo Como é que os alunos constroem as suas próprias soluções para modelar problemas sem apoio directo de elementos mais experientes? (Izsák, 2003) Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º7

Avaliar Representações Construir Representações Desenvolvimento do conhecimento para Modelação algébrica Modelação Matemática: Examinar vários atributos de um contexto matemático, físico ou social particular; Relacionar um subconjuntos destes atributos através de operações aritméticas, funções, ou outras estruturas matemáticas; Usar as representações resultantes para resolver problemas. Enquadramento teórico que emergiu do trabalho dos alunos com o winch Avaliar Representações Construir Representações Usar Representações Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º8

Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º9 Metodologia Participantes 12 pares de alunos do 8º ano de uma escola da área da Baía de S Francisco Estudo de Caso da Amy e da Kate 1º verbalizar de forma clara e pormenorizada os raciocínios que realizavam e cada momento e à medida que iam progredindo 2º Construir novo conhecimento de modelação durante as primeiras entrevistas 3º Voltar a usar o novo conhecimento construído nas entrevistas seguintes Instrumentos de recolha de dados Entrevistas video-gravadas (1 vez por semana durante 4 a 5 semanas) 3 tipos de tarefas: Prever a distância vertical entre os dois pesos após um determinado número de voltas; Determinar, se possível, o momento em que: a altura de um peso é o dobro da altura do outro; os dois pesos estão à mesma altura. Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º9

Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º10 Análise do Trabalho da Amy e da Kate Divisão em 4 fases (cronológicas) Fase I – Construção das representações algébricas para as alturas de cada peso e para as distâncias verticais entre os dois pesos; Fase II – Dificuldades iniciais no uso de representações algébricas para determinar quando é que a altura de um peso seria o dobro da altura do outro; Fase III – Previsão do momento em que os dois pesos se encontram à mesma altura com confirmação dessas previsões substituindo valores nas equações; Fase IV – Aperfeiçoamento e reorganização do conhecimento da Kate para construir, usar e avaliar representações que lhe permitissem resolver equações para determinar o momento de determinado acontecimento. Questão 4: Suponham, outra vez, que têm uma winch com 100-inch de altura. Será que um dos pesos alguma vez se encontrará ao dobro da altura do outro? Se sim, quando? Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º10

Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º11 Análise do Trabalho da Amy e da Kate Fase IV Avaliar Representações Sempre verdadeiro (Amy) Equações únicas (Amy/ Kate) Construir Representações Altura menor é igual à distância vertical dos dois pesos (Amy/ Kate) Usar Representações Não usaram Avaliar Representações Equações únicas (Kate) Construir Representações Altura menor é igual à distância vertical dos dois pesos (Kate) Usar Representações Resolvido para n (Kate) Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º11

Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º12 Considerações Finais A Kate e a Amy aprenderam a: distinguir equações que são verdadeiras para qualquer valor atribuído à variável independente de equações que restringem a variável independente a um valor único; Resolver este último tipo de equações para determinar quando é que ocorre uma determinada situação ocorre no modelo físico. Desta análise emergem dois resultados: Os alunos têm e podem usar critérios para avaliar representações algébricas; Desenvolvimento de um quadro teórico que explica como os alunos podem desenvolver o conhecimento de modelação através da coordenação destes critérios com o conhecimento para construir e usar representações algébricas. Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º12

Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º13 Considerações Finais Implicações para outros estudos: Desenvolvimento de tarefas e materiais que apoiem discussões em que os conhecimentos de modelação possam ser mais visíveis para investigadores, professores e alunos Implicações pedagógicas: Importância das discussões gerais, na sala de aula, sobre as relações existentes entre as representações e os contextos modelados e o uso de representações para atingir os objectivos da resolução de problemas; Simbolização: Exemplo de um Estudo n.º13

Referências Bibliográficas Arcavi, A.(1994). Symbol sense: Informal sense-making in formal mathematics. For the Learning of Mathematics, 14(3), 24-35. Arcavi, A.(2005). El desarrollo y el uso del sentido de los símbolos, Actas de Caminha. Hiebert, J.(1988). A theory of developing competence with written mathematical symbols. Educational Studies in Mathematics, 19, 333-355. Izsák, A.(2003). “We want a statement that is always true”: Criteria for good algebraic representations and the development of modelling knowledge. Journal for Research in Mathematics Education, 34(3), 191-227. Janvier, C., Girardon, C., & Morand, J.-C.(1993). Mathematical symbols and representations. In P.S. Wilson (ED.), Research ideas for the classroom: High school mathematics (pp. 79-102). Reston: NCTM. Simbolização n.º14