Estatística amintas paiva afonso

Correlação e Regressão

Associação &Variáveis Quantitativas Situação 1: Deseja-se realizar uma investigação sobre a ocorrência de anemia e infecção em uma comunidade. Seria interessante poder estimar a concentração de hemoglobina e a contagem de eritrócitos e leucócitos no sangue pela medida do hematócrito. Para verificar a possibilidade de se usar tal procedimento, é conduzido um estudo-piloto a partir dos resultados da rotina de um laboratório de hematologia. Como verificar se essas variáveis estão associadas?

Testes de Hipóteses? Estabelecem se existe associação entre duas variáveis, mas... Não quantificam a força da associação; e Não permitem representar a relação existente sob uma forma funcional.

Associação &Variáveis Quantitativas É possível fazer um gráfico das variáveis de interesse e analisar a existência de uma relação a partir da análise desse gráfico.

Associação &Variáveis Quantitativas Diagrama de Dispersão Representação gráfica que permite a visualização do comportamento conjunto das duas variáveis. É gráfico sobre o qual cada medida individual é representada por um ponto, sendo que a posição de cada ponto é determinada pelos valores observados em um indivíduo, para as duas características medidas (por exemplo, hematócrito e hemoglobina). É denominado, também, de gráfico XY.

Diagrama de Dispersão Análise Parece não haver uma relação entre o valor do hematócrito e o valor do leucócito.

Diagrama de Dispersão Análise Há uma relação crescente entre o valor do hematócrito e o valor de hemoglobina. Esta relação parece ser linear.

Diagrama de Dispersão Análise Há uma relação crescente entre o valor do hematócrito e o valor do eritrócito. Esta relação parece ser linear.

Diagramas de Dispersão A análise não é alterada, se trocamos as variáveis X e Y, ou seja, a existência ou não da relação não depende de qual variável é considerada independente. O modelo matemático, porém, será alterado a depender de quem é X.

Associação &Variáveis Quantitativas Coeficiente de correlação linear de Pearson Valor numérico que mede a intensidade da associação linear existente entre as duas variáveis, medida a partir de uma série de observações. Karl Pearson (1857 – 1936)

Coeficiente de Correlação Linear Medindo a Força da Associação

Coeficiente de Correlação Linear Interpretando o valor de r r - assume valores entre – 1 e + 1 inclusive. x  y  r  – 1 associação linear negativa; r  0 ausência de associação linear; r  + 1 associação linear positiva; x  y 

Coeficiente de Correlação Linear Relação perfeita r  - 0,80 r = - 1 Relação perfeita

Teste de Hipóteses sob o Coeficiente de Correlação Linear Testamos a hipótese nula: (bicaudal) A estatística do teste é dada por: e sob H0 , t tem distribuição t-Student com (n - 2) graus de liberdade.

Coeficiente de Correlação Linear Teste de Hipóteses Exemplo 1: Vamos calcular o coeficiente de Pearson entre as variáveis hemoglobina e hematócrito. Para  = 0,05 temos: Há correlação entre hematócrito e hemoglobina.

Coeficiente de Correlação Linear Teste de Hipóteses Exemplo 2: Vamos calcular o coeficiente de Pearson entre as variáveis leucócito e hematócrito. Para  = 0,05 temos: Não há correlação entre hematócrito e leucócito.

Associação &Variáveis Quantitativas Modelos de Regressão Modelo matemático para a relação linear analisada. Permite a predição de uma variável em função de outra.

Qual a reta que melhor se ajusta a estes dados? Modelos Lineares Situação 2: Uma vez verificada a existência de uma relação entre a quantidade de hemoglobina e o número de hematócritos, desejamos desenvolver um modelo para estimar a medida de hemoglobina (variável y) a partir da medida de hematócrito (variável x). Qual a reta que melhor se ajusta a estes dados?

a e b - parâmetros da reta Modelos Lineares Equação da Reta Intercepto y a a e b - parâmetros da reta b Inclinação da reta

Regressão Linear Simples Método dos Mínimos Quadrados O objetivo é minimizar a soma do quadrado dos erros: erro Obtendo os valores de e que minimizam a equação acima.

Regressão Linear Simples Método dos Mínimos Quadrados Podemos utilizar a reta de regressão para estimar os valores de .

Reta de Regressão & Estimativa Estimativa da Medida de Hemoglobina Análise O valor de homoglobina média estimada, para um valor observado de hematócrito igual a 40%, é de 13,97 g/dl.

Reta de Regressão & Estimativa Estimativa da Medida de Hematócrito Suponha que desejemos considerar o hematócrito como variável dependente. Neste caso, podemos calcular outra reta de regressão, pelo método dos mínimos quadrados, considerando a hemoglobina como variável x (independente) e o hematócrito como variável y (dependente). O valor de hematócrito médio estimado, para um valor observado de hemoglobina Hb = 13,97 g/dl, é de 40,54%. Note que a reta, para Ht, não é a inversa da obtida para Hb.

Gasto com Alimentação y Exemplo 1: Encontre a linha de regressão dos mínimos quadrados para os dados sobre renda e gasto com alimentação nos sete domicílios apresentados na tabela abaixo. Utilize renda como uma variável independente e gasto com alimentação como uma variável dependente. Renda x Gasto com Alimentação y xy x2 35 9 315 1225 49 15 735 2401 21 7 147 441 39 11 429 1521 5 75 225 28 8 224 784 25 625 212 64 2150 7222

Qualidade do Ajuste na Regressão Coeficiente de Determinação R2 = proporção da variabilidade de y que é explicada pelo modelo (reta de regressão) Se R2 = 0,90 significa que 90% da variação em y pode ser explicada pela equação obtida.

Qualidade do Ajuste na Regressão Coeficiente de Determinação Quando fazemos uma regressão linear, os valores observados (x,y) estão espalhados ao redor da reta de regressão. Quanto menor for este espalhamento, melhor a reta de regressão representa o conjunto de valores observados. A variância amostral total, como estimador do espalhamento, pode ser decomposta da seguinte forma:

Qualidade do Ajuste na Regressão Coeficiente de Determinação Exemplo 2: Para os dados da tabela do exemplo 1, sobre rendas mensais e gastos mensais com alimentação de sete domicílios, calcule o coeficiente de determinação. b=0,2642 SQxy=211,7143 SQyy=60,8571

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