E s f e r a

“ Quanto maior a dificuldade, tanto maior é o mérito em superá-la.” (H. W. Beecher)

Corpos Redondos Somos formados por superfícies planas e curvas ou apenas por superfícies curvas.

Quem sou eu? Sou formado, apenas, por uma superfície curva Esfera pag 221

Conceito  A esfera é um sólido limitado por uma superfície curva de revolução que tem todos os pontos igualmente distantes de um ponto interior chamado centro. A superfície esférica é resultado da revolução de uma semicircunferência em torno do diâmetro.

De uma forma geral e bastante simples, podemos dizer que a superfície esférica é a “casca”, enquanto a esfera é a reunião da “casca” com o “miolo”.

"Desejo é a chave da motivação, mas são a determinação e o comprometimento com a perseguição implacável da sua meta que o possibilitarão de obter o sucesso que procura." (Mario Andretti)

Elementos da esfera Paralelo : É qualquer seção (circunferência) Eixo Paralelo : É qualquer seção (circunferência) perpendicular ao eixo. Meridiano: É qualquer seção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo. Exercícios: pag 222 – 56, 59

Área de uma superfície esférica A área de uma superfície esférica de raio “r” é dada por S = 4 pi r2 Exemplo: Calcular a área de uma superfície esférica de raio 6 m. Rsp: 144 pi m2

Volume de uma esfera O volume de uma esfera de raio “r” é dada por V = 4/3 pi r3 Exemplo: 2. O raio de uma esfera é 3 m. Calcular o volume dessa esfera. Rsp: 36 pi m3 Exercícios: pag 223 – ler R 17 e R 18. pag 225 - 61 pag 227 – 98 (desafio) turma 201 e 204

Cunha esférica e fuso esférico Cunha esférica é o sólido gerado pela rotação, segundo um ângulo alfa, de um semicírculo de raio “r” em torno de um eixo. Fuso esférico pela rotação, segundo um ângulo alfa, de uma semicircunferência de raio “r” em torno de um eixo. Exercícios: pag 224 – ler R 19. pag 225 – 63, 65,67

Pag 227 -100. r h 2r 2r r r

Rsp: 27 pi cm2 Rsp: Af= 800 pi cm2 Ac= 2400 pi cm2 Vc= 32000/3 pi cm3 Uma esfera de círculo máximo com área 36 pi cm2 é secionado por um plano a 3 cm do centro. Calcule a área da seção determi - nada pelo plano. raio 3 cm Rsp: 27 pi cm2 6 cm 2. Um fuso de uma esfera de 40 cm de raio apresenta ângulo diedro de 450. Determine a área do fuso e a área e o volume da cunha correspondente. Rsp: Af= 800 pi cm2 Ac= 2400 pi cm2 Vc= 32000/3 pi cm3

3. A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais. Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de a) pirâmide. b) semiesfera. c) cilindro. d) tronco de cone. e) cone. x

x 4. Oscar Niemayer é um arquiteto brasileiro, considerado um dos nomes mais influentes na arquitetura moderna internacional. Ele contribuiu, através de uma doação de um croqui, para a construção do planetário da UFSM, um marco arquitetônico importante da cidade de Santa Maria. Suponha que a cobertura da construção seja uma semiesfera de 28 m de diâmetro, vazada por 12 partes iguais, as quais são aproximadas por semicírculos de raio 3 m. Sabendo que uma lata de tinta é suficiente para pintar 39 m2 de área, qual a quantidade mínima de latas de tinta necessária para pintar toda a cobertura do planetário? (Use x a) 20. b) 26. c) 40. d) 52. e) 60.

x 5. Considere um cone circular reto e um cilindro circular reto, ambos com diâmetro da base igual a 12 cm e também uma esfera com diâmetro de 12 cm, todos com volumes iguais. A altura do cone e a altura do cilindro devem ser respectivamente iguais a: 12 cm e 4 cm b) 30 cm e 10 cm c) 24 cm e 8 cm d) 9 cm e 3 cm e) 18 cm e 6 cm x

6. A prefeitura de certo município realizou um processo de licitação para a construção de 100 cisternas de placas de cimento para famílias da zona rural do município. Esse sistema de armazenamento de água é muito simples, de baixo custo e não poluente. A empreiteira vencedora estipulou o preço de 40 reais por m2 construído, tomando por base a área externa da cisterna. O modelo de cisterna pedido no processo tem a forma de um cilindro com uma cobertura em forma de cone, conforme a figura abaixo. Considerando que a construção da base das cisternas deve estar incluída nos custos, é correto afirmar que o valor, em reais, a ser gasto pela prefeitura na construção das 100 cisternas será, no máximo, de: Use: = 3 a) R$ 100.960,00 b) R$ 125.600,00 c) R$ 140.880,00 d) R$ 204.000,00 e) R$ 213.520,00 x

Elementos de um CONE pag 209 ( passa pelo vértice e o centro do círculo da base)  Eixo Seção meridiana o centro r diâmetro base

Classificação de um CONE pag 210 1. Cone reto 2. Cone oblíquo eixo 3, Cone de revolução g g = 2r o r Cone equilátero