Dinâmica de átomos em cristais: fônons Espalhamento Raman Dinâmica de átomos em cristais: fônons

elétrons prop. físicas mov. dos átomos veloc. do som, prop. térmicas calor específico, dilatação térmica, condutividade térmica (semicond. e isolantes) Aproximação adiabática (Born & Oppenheimer): mov. elétrons = mov. caroço (+ rápidos) (+ lentos)

O potencial x Energia total do cristal depende da posição do caroço (0,0,0) n-ésima célula unitária átomo a ra rn=n1a1+n2a2+n3a3 rna=rn+ra una Energia total do cristal depende da posição do caroço

O potencial Expansão em série de Taylor: Termos lineares 0 (em torno da posição de equil.) Eq. acima generaliza o pot. de oscilador harmônico para várias partículas Aproximação harmônica

O potencial (const. de acoplamento) Força no at. a na célula n e direção i, quando at. b na célula m e direção j se move de umbj Num cristal, a invariância de translação implica em:

As equações de movimento Força total = 0 N cel. unitárias r at. na célula 3rN eq. dif. acopladas Para sist. periódicos desacoplamento unai onda plana (Ansatz) (só é definida nos ptos da rede rn)

As equações de movimento Substituindo na eq. anterior: (matriz dinâmica) Então: (sist. linear homogêneo de ordem 3r)

As equações de movimento Rede primitiva: r=1 (1 átomo), i. e., para cada q temos 3 eq. para resolver, graças a simetria translacional Só tem solução se: Para cada q: 3r soluções diferentes para w(q) w(q) relação de dispersão (3r ramos)

A cadeia linear diatômica Modelo: a f f f f n-1 n n n+1 n+1 Lembrando: a, b : 1 ou 2 i : só um valor (linear), podemos desprezar m: n+1, n ou n-1 (Só interação 1os. vizinhos)

A cadeia linear diatômica Então neste caso: Onde as constantes de acoplamento são:

A cadeia linear diatômica Então: Ansatz (ondas planas):

A cadeia linear diatômica Substituindo nas eq. anteriores:

A cadeia linear diatômica A matriz dinâmica fica: E o determinante secular fica:

A cadeia linear diatômica Fazendo Det=0 obtemos a relação de dispersão: A qual é periódica para: Para uma rede qualquer vale: Portanto: e

Curvas de dispersão -p/a +p/a 1a. Zona de Brilluoin ramo óptico (2f /m)1/2 (2f / M2)1/2 ramo acústico (2f / M1)1/2 -p/a +p/a http://www.personal.psu.edu/pce3/images/phonon_dispersion.gif

Modos acústicos e ópticos

Rede bidimensional quadrada f2 f1 1 2 3 5 8 4 7 6 Interações até 2os. vizinhos Matriz dinâmica:

Em nosso caso: Rede quadrada: i, j x, y a, b só 1 átomo podemos desprezar m 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (1os. e 2os. vizinhos) f2 f1 1 2 3 5 8 4 7 6 Em nosso caso:

As const. de acoplamento Supondo a força como: fn n ê u(n) u(0) Fn = -fn{ê.[u(0) - u(n)]} ê Lembrando: Força no at. a na célula n e direção i, quando at. b na célula m e direção j se move de umbj

Voltando: f2 f1 1 2 3 5 8 4 7 6 Então:

Lembrando também que: Temos: Da mesma maneira podemos calcular os outros termos !

E o determinante secular fica:

1a. zona de Brillouin 2p/a zona de Brillouin G X R L D qy qx http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Brillouin_zone.svg Alguns pontos e direções de alta simetria

Pontos e direções de alta simetria Ao longo da linha L , onde : G X R L D qy qx 2p/a Em G soluções para w iguais a zero, em R iguais a (4f1/M)1/2

Pontos e direções de alta simetria Ao longo da linha D , onde qx = q e qy = 0 : G X R L D qy qx 2p/a Em G soluções para w iguais a zero, em X iguais a [4(f1+f2)/M]1/2 e (4 f2 /M)1/2

Dispersão rede quadrada max. se f1<4f2 G X R L D qy qx 2p/a

1a. zona de Brillouin - FCC http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Fcc_brillouin.png

Dispersão de fônons para o BN cúbico http://wolf.ifj.edu.pl/phonon/Public/refer/bn.gif

Dispersão de fônons para o Si http://www.ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/Si/Figs/tubino721_Si.gif