INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS MATRIZES

O QUE É UMA MATRIZ Uma matriz pode ser definida como uma tabela onde os valores são dispostos em linhas e colunas. A diferença fundamental entre uma matriz e uma tabela normal é que na matriz representamos apenas os dados numéricos da tabela, para que os cálculos sejam facilitados..

Vamos entender melhor como interpretar as informações de uma tabela analisando a tabela abaixo que mostra as informações nutricionais de quatro alimentos vendidos em uma lanchonete.

A tabela representada anteriormente pode ser representada na forma de uma matriz com 4 linhas e 6 colunas, ou uma matriz 4x6.

Em relação à essa matriz, vamos responder às seguintes perguntas: a) Em que linha e coluna está o número 302? Na quarta linha e primeira coluna. b) Na matriz, o que representa o número 4,2? A quantidade de gorduras trans, em gramas, presentes em uma porção de batatas.

c) Que elemento está na terceira linha e quinta coluna? É o número 0 d) Quantos elementos há na matriz. 24 elementos. Observação: podemos encontrar o número de elementos de uma matriz multiplicado seu número de linhas por seu número de colunas.

De maneira geral, representamos uma matriz da seguinte forma: Amxn, ordem m indica o número de linhas e n o número de colunas da matriz. Poderíamos representar a matriz do exemplo anterior por

Já os elementos costumam ser representados com uma letra minúscula (aij), onde i indica a linha na qual o elemento se encontra e j a coluna. Na matriz indicada no exemplo, temos que:

A matriz dada como exemplo inicial possui 4 linhas e 6 colunas, logo, ela poderia ser representada por A = (aij), com 1  i  4 e 1  j  6. Se uma matriz possuir 3 linhas e 5 colunas ela poderá ser indicada por: A = (aij), com 1  i  3 e 1  j  5.

EXEMPLO Com relação à matriz genérica A = (aij), com 1  i  5 e 1  j  8, responda: a) Quantas linhas há na matriz A Há 5 linhas na matriz A, pois com 1  i  5 b) E quantas colunas: 8 colunas, já que: com 1  j  8 c) Quantos elementos compõe a matriz A O número de elementos é 8.5 = 40 elementos

Os elementos de uma matriz também podem ser representados por meio de equações. Nesse caso encontramos os elementos fazendo a substituição dos valores propostos na fórmula (como em uma função), para encontrarmos os elementos da matriz.

Por exemplo, construir uma matriz A2x2, onde os elementos são dados por aij = 2i + 3j – 1. Nesse caso temos: A matriz procurada nesse caso é:

TIPOS DE MATRIZ MATRIZ QUADRADA: Uma matriz é dita quadrada quando seu número de linhas e de colunas é igual. Por exemplo: Os elementos 2; 0 e 5 são os elementos da chamada diagonal principal e os elementos 7; 0 e 6 são os elementos da chamada diagonal secundária.

Toda matriz quadrada possui duas diagonais, uma chamada de principal, formada pelos elementos aij, tais que i = j e a outra chamada secundária, formada pelos elementos aij tais que i + j = n + 1, onde n indica a ordem da matriz.

MATRIZ IDENTIDADE É toda matriz na qual os elementos da diagonal principal são iguais a um e os demais elementos são nulos. Abaixo estão representadas as matrizes identidades de ordens dois e três.

MATRIZ TRANSPOSTA A transposta de uma matriz é a matriz que se obtém ao trocarmos as linhas de uma matriz pelas colunas e vice-versa. Por exemplo:

Observe que ao transpormos uma matriz, sua ordem fica alterada, exceto no caso de uma matriz quadrada. Indicamos a transposta de uma matriz por . Se uma matriz for tal que A = , ela é dita simétrica e se = -A (oposta de A), a matriz é dita anti-simétrica.

MATRIZ TRIANGUAR Uma matriz quadrada é dita triangular quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos.

MATRIZ DIAGONAL Uma matriz quadrada é dita diagonal quando todos os elementos da diagonal principal são não nulos e todos os demais elementos são nulos.