Equações Diferenciais Ordinárias Prof. Guilherme Jahnecke Weymar AULA MODELAGEM COM EQUAÇÕES DE 1ª ORDEM Equações diferenciais de primeira ordem e Aplicações Fonte: Boyce, Bronson, Zill, diversos internet

MODELOS MATEMÁTICOS Problema de física Equação Diferencial Identificar variáveis importantes Elaborar pressuposições e aproximações razoáveis Aplicar as leis físicas relevantes Equação Diferencial Aplicar uma técnica de solução Aplicar as condições iniciais e de contorno Solução do problema

O objetivo é saber qual velocidade irá atingir o solo! + Queda livre de objetos O objetivo é saber qual velocidade irá atingir o solo! Lei Física: 2ª Lei de Newton 𝑖 𝐹 𝑖 = 𝐹 𝑅 = 𝑚.𝑎 Aproximação 𝑃=−𝑚.𝑔=𝑚. 𝑑𝑣 𝑑𝑡

Queda livre de objetos Condição Inicial −𝑔= 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑣 𝑡=0 = 𝑣 0 Solução....

Considerando a resistência do ar sobre o paraquedista! Queda livre de objetos Considerando a resistência do ar sobre o paraquedista! + Lei Física: 2ª Lei de Newton 𝑖 𝐹 𝑖 = 𝐹 𝑅 = 𝑚.𝑎 𝑃− 𝐹 𝑎𝑟 =𝑚.𝑔−𝑘 𝑣 2 =𝑚. 𝑑𝑣 𝑑𝑡

Queda livre de objetos 𝑚.𝑔−𝑘 𝑣 2 =𝑚. 𝑑𝑣 𝑑𝑡 Exemplo.... Observação: 𝑚.𝑔−𝑘𝑣=𝑚. 𝑑𝑣 𝑑𝑡

Corrente em circuito RL Comportamento da corrente em um circuito composto por um Resistor (R) e um Indutor (I), alimentado por uma fonte de tensão (E) 𝒊(𝒕) 2ª Lei de Kirchhoff Diz: Diferença de potencial em um circuito fechado é igual à soma das voltagens em cada componente do circuito. 𝐸 𝑡 = 𝑉 𝑅 + 𝑉 𝐼 E=𝑖 𝑡 .𝑅+𝐿. 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡

Corrente em circuito RL Solução....

Diluição de soluções Problema: Determinar a quantidade dessa substância num instante futuro Lei de Conservação de Massa Volume de Controle 𝑑𝑄(𝑡) 𝑑𝑡 =𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 −𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎

Diluição de soluções 𝑄(𝑡)- quantidade da substância no instante 𝑡. Taxa de entrada da substância = recebe uma solução ("𝑐(𝑘𝑔)" da substância por litro de solução) a uma razão de "𝑎(𝑙/𝑠)“. 𝑡axa de entrada=c. 𝑎 Taxa de saída da substância = solução formada ("𝑄(𝑡)/ 𝑉 0 ") a uma razão de "𝑎(𝑙/𝑠)“. 𝑡axa de saída= 𝑄(𝑡) 𝑉 0 .𝑎 Aproximações: O mecanismo de agitação no reservatório mantém homogênea a solução que vai sendo formada. A razão de entrada é a mesma razão de saída. Não se altera o volume dentro do volume de controle! 𝑑𝑄(𝑡) 𝑑𝑡 =𝑐.𝑎 − 𝑄(𝑡) 𝑉 0 .𝑎 Solução....

Diluição de soluções Lei de Torricelli: A velocidade v do fluxo de água de um buraco estreito na base do tanque preenchido com uma profundidade h é igual à velocidade que um corpo adquiriria caindo livremente a partir da altura h. 𝐸 𝑐 = 1 2 𝑚. 𝑣 2 =𝑚.ℎ.𝑔= 𝐸 𝑝 𝑣= 2ℎ𝑔 Calcular a profundidade h de água remanescente no tanque no instante t. 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑖𝑥𝑎 𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒=𝑣. 𝐴 ℎ Volume de Controle 𝑑𝑉 𝑑𝑡 =−𝑣. 𝐴 ℎ = 𝐴 ℎ . 2ℎ𝑔 𝑑 (ℎ𝐴 𝑤 ) 𝑑𝑡 =− 𝐴 ℎ . 2ℎ𝑔 → 𝑑ℎ 𝑑𝑡 =− 𝐴 ℎ 𝐴 𝑤 . 2ℎ𝑔

Resfriamento de um corpo: Modelo simplificado para o fenômeno da variação de temperatura num corpo por perda de calor para o meio ambiente. Um corpo sem fonte interna de calor deixado em um ambiente com temperatura 𝑇 𝑎𝑚𝑏 ≠ 𝑇 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 , sua temperatura tende a entrar em equilíbrio com a 𝑇 𝑎𝑚𝑏 . Hipóteses: Temperatura 𝑇(𝑡) é a mesma em todo o corpo e depende apenas do tempo. 𝑇 𝑎𝑚𝑏 é constante com o tempo, e é a mesma para qualquer ponto no ambiente. Fluxo de calor 𝑑𝑇 𝑑𝑡 através das paredes do corpo é proporcional a diferença entre as temperaturas do corpo e do meio ambiente. 𝑘 - constante que depende das propriedades físicas do corpo. 𝑑𝑇 𝑑𝑡 =−𝑘.(𝑇− 𝑇 𝑎𝑚𝑏 ) Calor flui da Fonte Quente para Fonte Fria

Decaimento Radioativo Núcleo de um átomo composto de prótons e nêutrons. Muitas dessas combinações são instáveis. Os átomos decaem ou transmutam em átomos de outra substância. Núcleos são chamados de radioativos. Fenômeno de decaimento radioativo, supõe-se que a taxa 𝑑𝐴 𝑑𝑡 segundo a qual o núcleo de uma substância decai é proporcional à quantidade 𝐴(𝑡) de substância remanescente no instante 𝑡. 𝒅𝑨(𝒕) 𝒅𝒕 ∝𝑨 𝒕 → 𝒅𝑨 𝒕 𝒅𝒕 =𝜶.𝑨(𝒕) 𝜶 –constante de decaimento da substância.

Dinâmica Populacional 1ª Tentativa de modelagem de crescimento populacional humano (Thomas Malthus, 1798). Taxa segundo qual a população de um país cresce em um determinado instante é proporcional à população total do país naquele instante. 𝑃(𝑡) – população no instante t. 𝒅𝑷(𝒕) 𝒅𝒕 ∝𝑷 𝒕 → 𝒅𝑷 𝒕 𝒅𝒕 =𝒌.𝑷(𝒕) Modelo não leva em conta muitos fatores que podem influenciar a população humana. (emigração e imigração)