Prof. André Laurindo Maitelli DCA-UFRN CONTROLE AVANÇADO Prof. André Laurindo Maitelli DCA-UFRN

IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS

Introdução “É a determinação de um modelo matemático que represente os aspectos essenciais do sistema, caracterizado pela manipulação dos sinais de entrada e saída que estão relacionados através de uma função de transferência contínua ou discreta” “É a determinação, com base em entradas e saídas, de um sistema em uma classe de sistemas especificados, ao qual o sistema em teste é equivalente”. Para processos industriais, o modelo pode ser obtido a partir do tratamento das medidas coletadas através de uma realização experimental

Técnicas de Identificação Introdução Processo saída entrada Modelo matemático do processo Técnicas de Identificação incertezas

Etapas Planejamento Experimental o sinal de entrada deve excitar todos os modos do sistema um bom método de identificação deve ser insensível às características do sinal de entrada Seleção da Estrutura do Modelo pode ser feita a modelagem usando leis físicas a modelagem pode ser do tipo caixa preta, quando não se tem nenhum conhecimento sobre o processo pode ser caixa cinza, quando se tem algum conhecimento Estimação de Parâmetros baseada em: dados de entrada e saída do processo, uma classe de modelos e um critério Validação verificação da adequação do modelo escolhido

Planejamento Experimental Laço de Identificação Planejamento Experimental Dados Conjunto de modelos Avaliação do modelo Critério Validação OK usar Não OK revisar conhecimento a priori * O modelo pode ser deficiente devido a: falha do procedimento numérico critério mal escolhido conjunto de modelos inapropriado dados não informativos

Procedimentos Diferentes procedimentos para a geração do sinal de entrada, medição da saída e armazenamento dos dados: Teste de resposta ao degrau Teste de resposta em freqüência Off-line On-line

Armazenamento de dados Procedimentos Identificação de um processo pelo teste de resposta ao degrau: Processo Armazenamento de dados entrada saída O teste só tem validade para processos lineares ou não-lineares linearizados em pontos de operação Não permite a identificação de modelos de ordem superior, pois o degrau tem pobre composição em freqüência

Analisador de Espectro Procedimentos Identificação de um processo pelo teste de resposta em freqüência: Processo entrada saída Analisador de Espectro módulo fase Aplica-se um sinal senoidal de freqüência variável na entrada do processo Analisa-se as curvas de resposta em freqüência, identificando-se pólos e zeros

Procedimentos Identificação off-line: Excita-se o processo e armazenam-se as medidas de entrada e saída para aplicação e avaliação a posteriori dos algoritmos não recursivos É necessário o conhecimento da estrutura do modelo, envolvendo ordem e atraso de transporte

Procedimentos Identificação on-line: Excita-se o processo e trata-se em tempo real as medidas de entrada e saída obtidas A aplicação em tempo real dos algoritmos de identificação é interessante para o rastreamento dos parâmetros variantes no tempo Supera uma desvantagem da aplicação off-line que é a necessidade de armazenamento de uma grande quantidade de dados.

Estimação de Parâmetros ESTIMADOR Serão considerados modelos ARMAX:

Método dos Mínimos Quadrados Supondo que foram feitas N medidas de entrada e saída: Definindo: Tem-se:

Exemplo

Método dos Mínimos Quadrados Problema a ser resolvido: Dados Y e X, obter θ Solução: utilizar método dos mínimos quadrados. Escolher θ que minimize a função erro J: Mínimo quando:

Método dos Mínimos Quadrados x yp yr Min Σ Observações: A solução existe se (XTX)-1, a chamada pseudo-inversa, for não-singular A seqüência escolhida de entradas {u(k)} deve garantir a existência da não-singularidade Se não houver a presença de incertezas (ruídos) podemos achar em N=n+m passos A matriz X cresce a medida que N cresce

Exemplo Suponha y(0)=0 e que foi aplicada a seguinte entrada: u(0)=1 e u(1)=-1 Logo: y(1)= -0.8y(0)+u(0)= 1 y(2)= -0.8y(1)+u(1)= -1.8

Propriedades Estatísticas do Estimador Assumindo que e(k) é uma variável aleatória independente, gaussiana com média zero e variância σ2, ou seja, 1) Média Mas Logo:

Propriedades Estatísticas do Estimador 2) Covariância Assim, Os elementos da diagonal de Ψ representam as variâncias de cada parâmetro que compõe o vetor de parâmetros θ

Propriedades Estatísticas do Estimador Para N observações: Calculando: Se o estimador for consistente: em que Γ é uma matriz constante não-singular Então,

Propriedades Estatísticas do Estimador Conclusão: Se e Então quando O estimador é consistente

Método dos Mínimos Quadrados Recursivo Ideal para aplicações on-line em sistemas com parâmetros constantes e desconhecidos Generalizando, temos:

Método dos Mínimos Quadrados Recursivo Considerando: Já sabemos que: Logo, com (N+1) amostras:

Método dos Mínimos Quadrados Recursivo Lema de Inversão de Matrizes: Sejam Anxn bnx1, cnx1 A, (A+bcT) matrizes não-singulares Então:

Método dos Mínimos Quadrados Recursivo Definindo: E usando o lema de inversão de matrizes, com: Temos que:

Método dos Mínimos Quadrados Recursivo Assim: Finalmente, temos que:

Método dos Mínimos Quadrados Recursivo Assim: Em que: É chamado de regressor e contém as informações de entrada e saída

Seleção de P0 e 1) Calculando os primeiros k pontos: 2) arbitrário Na k-ésima iteração os valores de e se aproximam daqueles calculados em 1) se α→infinito

Seleção de P0 e

Seleção de P0 e

Seleção de P0 e Conclusão: Para (α grande) e arbitrário: Isto significa que, nestas condições, o método recursivo aproxima-se do exato.

Excitação Persistente O sinal de controle deve ser escolhido de forma a excitar todos os modos do sistema; Para tanto deve ser rico em freqüências Um sinal muito utilizado na prática é o PRBS (Pseudo Random Binary Signal), por possuir estas características +1 -1

Método dos Mínimos Quadrados Recursivo com Fator de Esquecimento Utilizado para sistemas variantes no tempo; A idéia é dar um maior “peso” aos dados mais atuais; Deve-se ter um cuidado na escolha do fator de esquecimento; Alternativamente, pode-se utilizar outros métodos como o “reset” da matriz de covariância.

Método dos Mínimos Quadrados Recursivo com Fator de Esquecimento Definindo:

Método dos Mínimos Quadrados Recursivo com Fator de Esquecimento Assim,

Método dos Mínimos Quadrados Recursivo com Fator de Esquecimento

Método dos Mínimos Quadrados Recursivo com Fator de Esquecimento Definindo: E usando procedimento semelhante ao caso sem esquecimento, obtém-se: Usualmente λ entre 0.995 e 1

Seleção da Estrutura do Modelo A seleção da estrutura de um modelo, no caso de sistemas monovariáveis limita-se à determinação da ordem do modelo e a determinação do atraso de transporte; A partir desta afirmação surge um compromisso entre a capacidade de representação da dinâmica essencial do sistema e um número adequado de parâmetros que possibilite menor esforço para o processamento dos algoritmos de identificação e controle;

Seleção da Estrutura do Modelo Definindo: Podemos utilizar o critério de Akaike para determinar a melhor estrutura: em que N é o numero de medidas realizadas durante o experimento e p é o número de parâmetros utilizados no modelo estimado;

Seleção da Estrutura do Modelo O critério é utilizado da seguinte maneira: inicia-se com a utilização de um modelo de baixa ordem, n=m=1, por exemplo; aumenta-se a ordem do modelo estimado e o critério é avaliado para cada incremento na ordem, utilizando um determinado conjunto de medidas; A escolha da estrutura adequada é baseada na menor taxa de variação do critério.