Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Projeto de Controladores

Estabilidade Relativa Limiar de Instabilidade Instável Estável

Estabilidade Relativa O Sistema a é mais estável que o sistema b!

Estabilidade Relativa MARGEM DE GANHO = é o ganho que falta para que o sistema atinja 0dB, quando a fase está em -180. MARGEM DE FASE = é a fase que falta para que o sistema atinja -180, quando o ganho é 0dB.

Estabilidade Relativa

Estabilidade Relativa

Compensação por Avanço de Fase Onde α é o fator de atenuação do compensador. Observe que: O compensador possui um pólo em s=-1/αT e um zero em s=-1/T; O zero fica sempre à direita do pólo no plano complexo; O pólo fica localizado cada vez mais distante à esquerda para valores cada vez menores de α.

Compensação por Avanço de Fase Diagrama polar com Kc=1; Φm é o ângulo máximo de avanço de fase.

Compensação por Avanço de Fase Diagrama de Bode para Kc=1 e α=0,1; Frequências de canto ω=1/T e ω=1/ α T=1/(10T); Observa-se que ωm é a média geométrica das frequencias de canto. Logo: Implicando em Este compensador se comporta como um filtro passa-altas!

Compensação por Avanço de Fase A principal função do compensador por avanço de fase é reconfigurar a curva de resposta em frequência de um sistema para se alcançar um ângulo de avanço de fase suficiente a fim de compensar o atraso de fase excessivo do sistema.

Compensação por Avanço de Fase Suponha que as especificações de desempenho para o sistema acima sejam dadas em termo de: Margem de fase; Margem de ganho; Constante de erro estático de velocidade, etc.

Compensação por Avanço de Fase FTMA do sistema compensado: Determinar o ganho K para satisfazer o requisito de erro estático; Construir o diagrama de Bode de G1 e avaliar a margem de fase; Determinar o ângulo de avanço de fase necessário (adicione de 5º a 12º ao ângulo determinado, pois o compensador desloca a frequência de cruzamento de ganho para a direita e diminui a margem de fase); Determine o fator de atenuação α usando Defina a frequência em que o módulo do Sistema não compensado G1 seja igual a e selecione essa frequência como sendo a nova frequência de cruzamento de ganho, que corresponde a e defazagem máxima Фm.

Compensação por Avanço de Fase Determine as frequências de canto como: Calcule Kc=K/α. Verifique a margem de ganho para se certificar se ela é satisfatória. Se não for, repita o processo modificando a localização do pólo e do zero do compensador até que o resultado seja satisfatório.

Compensação por Avanço de Fase

Compensação por Avanço de Fase Margem de fase 17º e margem de ganho infinito. Margem de fase 17º implica em sistema bastante oscilatório. Vamos aumentar para 50º, provocando um avanço de 33º acrescidos de 5º. Portanto, Φm=38º. Como então α=0,24.

Compensação por Avanço de Fase   Observe que em decorrência da inclusão do compensador, a curva de módulo na frequência de máxima defasagem passa a ser como segue:

Compensação por Avanço de Fase     De modo que com Isto é,

Compensação por Avanço de Fase Note que

Compensação por Avanço de Fase Diagramas polares do sistema não compensado e compensado

Compensação por Avanço de Fase Resposta transitória dos sistemas: -não compensado -compensado

Compensação por Avanço de Fase Resposta transitória dos sistemas: -não compensado -compensado

Compensação por Atraso de Fase Considere um compensador com atraso de fase que tenha a seguinte função de transferência: -Possui um zero em -1/T e um pólo em -1/(βT); -O pólo fica à direita do zero; -Diagramas com Kc=1 e β=10.

Compensação por Atraso de Fase A principal função de um compensador por atraso de fase é produzir atenuação em altas frequências, aumentando assim a margem de fase. Defina De modo que Considerando a função de transferência G(s) de um sistema não compensado. Então

Compensação por Atraso de Fase Exemplo: Dada a função de transferência de malha aberta Deseja-se compensar o sistema , de modo que a constante de erro estática de velocidade Kv seja de 5s-1, a margem de fase de pelo menos 40º e a margem de ganho de pelo menos 10dB. Para isso, vamos utilizar um compensador de atraso de fase Primeiro, vamos ajustar K para atender o requisito de erro estático de velocidade.

Compensação por Atraso de Fase Na sequência, constroi-se o diagrama de Bode de G1 é a FTMA com ganho ajustado, mas não compensado. Para evitar constantes de tempo muito altas, selecionamos a frequência de canto 1/T como 0,1rad/s. Adicionamos 12º à margem de fase a ser alcançada, resultando em 40º+12º=52º.

Compensação por Atraso de Fase Na sequência, constroi-se o diagrama de Bode de G1 é a FTMA com ganho ajustado, mas não compensado. Para evitar constantes de tempo muito altas, selecionamos a frequência de canto 1/T como 0,1rad/s. Adicionamos 12º à margem de fase a ser alcançada, resultando em 40º+12º=52º.

Compensação por Atraso de Fase Na sequência, constroi-se o diagrama de Bode de O ângulo de fase de G1 é -128º em aproximadamente 0,5rad/s, que é para onde traremos a nova frequência de cruzamento de ganho. Para isso, isso o compensador deve fornecer uma atenuação de -20dB. Então

Compensação por Atraso de Fase Na sequência, constroi-se o diagrama de Bode de O ângulo de fase de G1 é -128º em aproximadamente 0,5rad/s, que é para onde traremos a nova frequência de cruzamento de ganho. Para isso, isso o compensador deve fornecer uma atenuação de -20dB. Então

Compensação por Atraso de Fase A outra frequência de canto em ω=1/(βT) é então determinada como Portanto

Compensação por Atraso de Fase A Margem de Fase do sistema compensado é de aproximadamente 40º; A Margem de Ganho do sistema compensado é de 11dB. A constante de erro estático de velocidade é de 5s-1. Logo, o sistema compensado atende aos requisitos de regime permanente como de estabilidade relativa. Em contrapartida, a frequência de cruzamento de ganho decresceu, o que implica em uma redução da banda passante.

Compensação por Atraso de Fase Estabilidade absoluta

Compensação por Atraso de Fase Resposta ao Degrau Sistema Compensado: Sistema Não Compensado:

Compensação por Atraso de Fase Resposta à Rampa Sistema Compensado: Sistema Não Compensado:

Compensação por Atraso e Avanço de Fase FT do compensador: O termo produz o efeito de avanço de fase. O termo produz o efeito de atraso de fase.

Compensação por Atraso e Avanço de Fase Frequentemente selecionamos γ=β, embora γ possa ser diferente de β. Considerando o caso em que γ=β e Kc=1 Fazendo o ângulo de fase igual a zero, encontramos Avanço de fase Atraso de fase

Compensação por Atraso e Avanço de Fase Considerando o caso em que γ=β=10, Kc=1 e T2=10T1

Compensação por Atraso e Avanço de Fase Exemplo: Considere o sistema com realimentação unitária cuja função de transferência é: Deseja-se que a constante de erro estático de velocidade seja 10s-1, a margem de fase seja de 50º e a margem de ganho de 10dB ou mais. Para isso, vamos usar o compensador de atraso e avanço de fase. Supondo Kc=1, então Logo, K=20.

Compensação por Atraso e Avanço de Fase Observe que a Margem de fase do sistema com ganho ajustado, mas não compensado, é de 32º, isto é, INSTÁVEL! Observe que Logo, por conveniencia, escolhemos a nova frequência de cruzamento de ganho como 1,5rad/s, de modo que o ângulo de avanço de fase seja de aproximadamente 50º.

Compensação por Atraso e Avanço de Fase Agora, escolhemos a frequência de canto da porção de atraso de fase do compensador uma década abaixo da nova frequência de cruzamento de ganho, isto é, 0,15rad/s. O ângulo de avanço de fase máximo é dado por Testando β=10, encontramos Φm=54,9º . Logo, a frequência de canto 1/(βT2)= 0,015rad/s.

Compensação por Atraso e Avanço de Fase A FT da porção de atraso de fase do compensador torna-se: Para a porção de avanço de fase, considerando que na nova frequência de cruzamento de ganho (ω=1,5rad/s) G(jω)=13dB, então, o compensador contribui com -13dB em 1,5rad/s. Daí, Trançando uma reta 20dB/década que Passa pelo ponto 1,5rad/s; -13dB, e Tomando a intersecção com as retas 0dB e -20dB, encontramos as frequências De canto da porção de avanço de fase Do compensador, isto é, 0,7rad/s e 7rad/s.

Compensação por Atraso e Avanço de Fase A FT da porção de avanço de fase do compensador torna-se: De modo que a FT do compensador é A FTMA do sistema compensado é

Compensação por Atraso e Avanço de Fase A FTMF do sistema compensado é: