Equações do 1o grau com uma incógnita Uma equação é do 1o grau com uma incógnita (x) quando pode ser escrita na forma ax = b, com a e b reais e a ≠ 0. Exemplo: Vamos resolver a equação 2(x + 5) = 2 – 3(2 + 3x) + 15 no conjunto . 2(x + 5) = 2 – 3(2 + 3x) + 15 2x + 10 = 2 – 6 – 9x + 15 9x – 10 + 2x + 10 = 2 – 6 – 9x + 15 + 9x – 10 2x + 9x = 2 – 6 + 15 – 10 11x = 1 = Portanto, x = é a solução, raiz, da equação. x =

Equações literais do 1o grau com incógnita x Exemplos: 2bx = 8 ax + 3a = bx mx + n = p Tais letras representam números reais conhecidos que são chamados de constantes, coeficientes ou parâmetros. A essas equações damos o nome de equações literais do 1o grau com incógnita x. Resolução de uma equação literal Exemplo: 3x + 2m = x + 6m – x – 2m + 3x + 2m = x + 6m – x – 2m 2x = + 4m 2 = 1 x = 2m Portanto x = 2m é a solução.

Equações fracionárias Equações fracionárias são aquelas que apresentam incógnita no denominador. Exemplos: = + = 11 – Reduzimos ao mesmo denominador. + = = – 9x + 24 = 4x 204 – 39 = 33x – 4x – 24 + 9x + 24 = 4x – 4x – 24 33x = 165 5 5x = – 24 = – = 1 x = 5 x = –

Equações do 1o grau com duas incógnitas São equações do 1o grau com duas incógnitas, pois podem ser escritas, na forma geral, ax + by = c, com a ≠ 0 e b ≠ 0. Soluções de equações do 1o grau com duas incógnitas Exemplo: Vamos determinar alguns pares ordenados que sejam soluções da equação 3x + 2y = 10 Fazendo x = 0: Fazendo x = 1: Fazendo x = 2: 3 . 1 + 2y = 10 3 . 2 + 2y = 10 3 . 0 + 2y = 10 3 + 2y = 10 6 + 2y = 10 2y = 10 – 3 + 3 + 2y = 10 – 3 – 6 + 6 + 2y = 10 – 6 y = 2y = 7 2y = 4 y = 5 y = y = Par ordenado (0, 5) y = 2 Par ordenado Par ordenado (2, 2)

Gráficos das soluções de uma equação do 1o grau com duas incógnitas Exemplo: Vamos determinar algumas soluções da equações 3x + y = 1 e representar graficamente os pares ordenados obtidos em um sistema de eixos cartesianos. 3x + y = 1 1 2 3 4 5 6 7 8 –1 –2 –3 –4 y x x y 1 (–2,7) 1 – 2 (–1,4) Os pontos correspondentes às soluções de uma equação do 1o grau com duas incógnitas estão sobre uma mesma reta. – 1 4 (0,1) (1,–2) – 2 7

Soluções de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas Exemplo: Num quintal há galinhas e coelhos. Há 7 cabeças e 22 pernas. Quantas são as galinhas? E os coelhos? x: números de galinhas y: números de coelhos x + y = 7 (São 7 cabeças, ou seja, 7 animais) 2x + 4y = 22 (As galinhas têm 2 pernas e os coelhos tem 4 pernas; total de 22 pernas) x + y = 7 Então: 2x + 4y = 22 Solução de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas é um par ordenado que satisfaz, simultaneamente, as duas equações.

Solução da equação x + y = 7 (1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); etc. Na situação temos: 2x + 4y = 22 Solução da equação x + y = 7 (1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); etc. Solução da equação 2x + 4y = 22 (1, 5); (3, 4); (5, 3); (7, 2); etc. O par ordenado (3, 4) é a solução do sistema, pois é o único par ordenado que é solução, ao mesmo tempo, das duas equações. Graficamente ou geometricamente: 1 2 3 4 5 7 6 8 y 9 10 11 12 13 x + y = 7 x + y = 7 2x + 4y = 22 x y x y (3,4) (solução do sistema) 7 1 5 2x + 4y = 22 7 5 3 x

Método da substituição Métodos de resolução de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas Método da substituição Exemplo: “isolamos” o x na equação I Substituímos em II I x + y = 55 I x = 55 – y I 55 – y + 2y = 85 x + 2y = 85 II x + 2y = 85 II – y + 2y = 85 – 55 y = 30 Com o valor determinado de y, podemos substituí-lo em qualquer uma das duas equações ou II I Em : I x = 55 – (30) Em : II x + 2(30) = 85 x = 25 x + 60 = 85 x = 85 – 60 = 25

Método da adição Exemplo: x + y = 59 I x + y = 59 Somamos as duas equações: + x – y = 23 II x – y = 23 2x + 0 = 82 2x = 82 x = = 41 Em : I Em : II 41 + y = 59 41 – y = 23 y = 59 – 41 – y = 23 – 41 y = 18 – y = – 18 y = 18

“Isolamos” a mesma incógnita nas duas equações. Método da comparação Exemplo: 3x – 5y = 1 “Isolamos” a mesma incógnita nas duas equações. 2x + 3y = 7 x = 3x = 1 + 5y Então, comparamos as duas equações. 2x = 7 – 3y x = = = 2 + 10y = 21 – 9y 10y + 9y = 21 – 2 19y = 19 2 + 10y = 21 – 9y y = 1 Substituímos y em qualquer uma das duas equações: x = x = x = 2

possível e determinado, pois Sistema possível e determinado: Resolvendo pelo método gráfico Exemplo: x + y = 24 y = 3x x + y = 24 y = 3x x y x y 12 12 10 14 3 9 Dizemos que o sistema é possível e determinado, pois tem uma única solução. (6, 18) é a solução do sistema.

Sistema impossível: Exemplo: x + y = 5 2x + 2y = 6 “Isolamos” o x na primeira equação: x + y = 5 x = 5 – y Substituindo na segunda equação: 2(5 – y) + 2y = 6 10 – 2y + 2y = 6 10 = 6 (sentença falsa) Quando isso ocorre, dizemos que não existe solução para o sistema ou que o sistema é impossível.

Sistema possível e indeterminado: Exemplo: x + 2y = 5 2x + 4y = 10 Ao multiplicar a primeira equação por (– 2), temos: –2x – 4y = –10 2x + 4y = 10 Ao somarmos as duas equações: 0x + 0y = Note que qualquer par de números reais (x, y) satisfaz a equação 0x + 0y = 0. Quando qualquer par ordenado satisfaz o sistema, dizemos que o sistema é possível e indeterminado, pois existem infinitas soluções para o sistema.

O conjunto solução é dado por: x > 11 Exemplos: 3 – 2x ≥ x – 12, em , em – x > 3 – 2x ≥ x – 12 – x > – 2x – x ≥ – 12 – 3 (– 1) – 3x ≥ – 15 (– 1) > – 3x ≤ 15 9x – 3 – 6x > 2x + 8 x ≤ x ≤ 5 9x – 6x – 2x > 8 + 3 O conjunto solução é dado por: x > 11 (tal que) S = {x | x ≤ 5} S = {x | x > 11}

Sistemas de inequações Exemplo: 3x – 4 > 0 –x + 5 ≥ 0 , para x Soluções da 2a (S2): Soluções da 1a (S1): –x + 5 ≥ 0 3x – 4 > 0 3x > 4 x > (–1) – x ≥ – 5 (–1) x ≤ 5 Portanto, S1 = x | x > Portanto, S2 = {x | x ≤ 5} A solução do sistema será a intersecção das soluções, então: S = x | < x ≤ 5

Circunferência e círculo Todo segmento que liga um ponto da circunferência ao centro é chamado de raio da circunferência. Todos os raios têm a mesma medida de comprimento. Todo segmento que liga dois pontos da circunferência e passa pelo centro é chamado de diâmetro da circunferência. B Todo diâmetro mede o dobro do raio. D A O O centro não faz parte da circunferência. Círculo é a região plana limitada por uma circunferência. Uma circunferência é formada por todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto do mesmo plano (centro) é sempre a mesma.

Circunferência, ângulo central, círculo e setor circular Ângulo central em uma circunferência Circunferência

Gráfico de setores (ou de pizza) Exemplo: Foram doadas, de segunda-feira a sábado, as seguintes quantidades de livros: 25 livros na segunda 200 livros 360º : 10 : 10 20 livros na terça 20 livros 36º : 4 : 4 5 livros 9º 35 livros na quarta + 25 livros na quinta 45 livros na sexta Segunda 25 livros 5 . 9º = 45º Terça 20 livros 4 . 9º = 36º 50 livros no sábado Quarta 35 livros 7 . 9º = 63º 200 livros ao todo Quinta 25 livros 5 . 9º = 43º Sexta 45 livros 9 . 9º = 43º Sábado 50 livros 10 . 9º = 90º

Segunda 25 livros 5 . 9º = 45º Terça 20 livros 4 . 9º = 36º Quarta Terça-feira Quarta-feira Terça 20 livros 4 . 9º = 36º 36º Segunda-feira 63º Quinta-feira Quarta 35 livros 7 . 9º = 63º 45º 45º 90º 81º Quinta 25 livros 5 . 9º = 45º Sábado Sexta-feira Sexta 45 livros 9 . 9º = 81º Sábado 50 livros 10 . 9º = 90º

Gráfico de setores e porcentagem Exemplo: Em uma eleição participaram três candidatos A, B e C. A recebeu 35% A 126º B 90º C 108º 36º B recebeu 25% C recebeu 30% Votos brancos e nulos 10% 35% de 360º 100% 360º 25% de 360º 35% 126º Votos de A 25% 90º Votos de B 30% de 360º 30% 108º Votos de C

Divisão da circunferência em partes iguais Construção de polígonos regulares Exemplo: Vamos construir um pentágono regular: 360º 5 –35 7 2º 72º 10 –10

Posições relativas de uma reta e de uma circunferência A reta t é tangente à circunferência. r C d = r A A reta s é secante à circunferência. r d < r B A reta u é externa à circunferência. d > r r

Circunferência inscrita e circunferência circunscrita a um polígono no quadrado Circunferência circunscrita no hexágono

Posições relativas entre um ponto e uma circunferência O ponto P é pertencente à circunferência O ponto P é interno à circunferência O ponto P é externo à circunferência O P O P O r d r P d r d P pertence à circunferência P é interno P é externo d = r d < r d > r

Posições relativas de duas circunferências Circunferências com um só ponto comum O1 r1 A r2 O2 Tangentes externas: d = r1 + r2 O1 ≡ O2 d C2 r1 C1 r2 Circunferências concêntricas d A Tangentes internas: d = r1 – r2, com r1 > r2 O1 O2

Circunferências com dois pontos comuns r1 – r2 < d < r1 + r2, com r1 ≥ r2 d B Circunferências sem pontos comuns O1 d d O2 A O1 O2 B r1 A B r2 Externas: d > r1 + r2 Internas: d < r1 – r2, com r1 > r2

Ângulos em uma circunferência Ângulo central O vértice O é o centro da circunferência. A Seus lados determinam dois raios da circunferência ( e ). S x 360º – x : ângulo central de medida x. O (em azul): arco de medida angular x. B (laranja): arco de medida angular 360º – x.

O vértice F é um ponto da circunferência. Ângulo inscrito E O vértice F é um ponto da circunferência. G Os lados determinam duas cordas na circunferência ( e ). O arco correspondente não contém o vértice. F

Relação entre ângulo central e ângulo inscrito de mesmo arco Se um ângulo central e um ângulo inscrito em uma circunferência têm o mesmo arco correspondente, então a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito. Demonstração: A O y B x C é um ângulo central de arco e medida x. é um ângulo inscrito também de arco e medida y. é um diâmetro da circunferência. O é isósceles, pois (raios). Logo, também mede y. Como é um ângulo externo do , sua medida x é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele (y + y). Logo, x = y + y ou x = 2y, como queríamos demonstrar.

Ângulos de segmento Um ângulo com o vértice na circunferência, com um dos lados sobre uma tangente e o outro sobre uma secante, determinando uma corda, é chamado ângulo de segmento. O B A C