Processamento de Sinais Prof. Dr.-Ing. João Paulo C. Lustosa da Costa Universidade de Brasília (UnB) Departamento de Engenharia Elétrica (ENE) Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos Caixa Postal 4386 CEP 70.919-970, Brasília - DF Homepage: http://www.redes.unb.br/lasp

Motivação (1) Lei de Moore Duplicação da quantidade de transistores em um circuito integrado denso a cada dois anos Microprocessadores com maiores velocidades (e menores preços) Algoritmos mais complexos e mais funcionalidades Memórias com maiores capacidades: mais dados armazenados Mais quantidade de pixels em câmeras digitais Miniaturização Para microprocessadores Em 1971: 2.3 k transistores Em 2011: 2.6 G transistores (Ivy Bridge, Westmere 6C) Moore, Gordon E. (1965). "Cramming more components onto integrated circuits". Electronics Magazine. p. 4.

Definições (1) Sinal é uma entidade que contém informação sobre o estado ou o comportamento de um determinado fenômeno físico. é matematicamente representado como uma função de uma ou mais variáveis. Exemplos: f(t): sinal de voz obtido com um microfone unidimensional e função de uma única variável, o tempo t g(x,y): imagem digital Bidimensional e função de duas variáveis espaciais, coordenadas x e y Sinal contínuo , ou sinal analógico, é uma variável contínua no tempo. Sinal discreto , ou sequência, é uma variável discreta no tempo.

Definições (2) Sistema Sistemas contínuos Sistemas discretos é um fenômeno físico que exerce transformações sobre os sinais, modificando a informação deles. Sistemas contínuos entradas e saídas destes sistemas são sinais contínuos no tempo. Sistemas discretos entradas e saídas destes sistemas são sinais discretos no tempo. Processamento de sinais discretos no tempo Em caso de sinais analógicos, amostragem é realizada. Em caso de sinais originalmente discretos, aplica-se diretamente. Implementação flexível em sistemas computacionais; simulação de sistemas analógicos; adaptável à tecnologia.

Motivação (2) Aplicação em mineração de dados e análise preditiva Detecção de irregularidades: sinais discretos

Motivação (3) Aplicação em redes de computadores Detecção de tráfego malicioso: sinais discretos 2008-06-04-00:00:03.7586 tcp(6) S 56.37.74.42 4406 203.49.33.129 1080 [Windows XP SP1]

Motivação (4) Aplicação em sistemas de potência: sinais analógicos e discretos

Sistema de separação cega Motivação (5) Separação de sinais de áudio: sinais analógicos e discretos Ambiente acústico Sistema de separação cega de sinais Aplicações forenses e em bioacústica

Motivação (6) Aplicação em redes de sensores: sinais analógicos e discretos

Motivação (7) Aplicação em aerodinâmica: túnel de vento Arranjo Vento

Medidas (Gravações de EEG) Motivação (8) Tempo Canais Medidas (Gravações de EEG) Análise tempo-frequência Componente 1 Componente 2 Componente 3 tempo frequência Canal + + ≈ Separação em componentes

Amostragem de sinais em tempo contínuo (1) Processamento Digital de Sinais Sensores capturam sinais analógicos. Câmera: sinais luminosos em sinais elétricos, microfone: sinais mecânicos (áudio) em sinais elétricos, antenas: sinais eletromagnéticos no ar em sinais elétricos (no condutor) Conversor analógico-digital (A/D) Processador digital de sinais Sinais digitais são convertidos em analógicos. Vídeo: sinais elétricos em energia luminosa, alto-falante: sinais elétricos em sinais mecânicos (áudio), antenas: sinais elétricos no condutor em sinais eletromagnéticos no ar Conversor digital-analógico (D/A) Processador Digital de Sinais Transdutor Conversor A/D Conversor D/A Transdutor

Amostragem de sinais em tempo contínuo (2) Digitalização de sinais Conversor A/D Amostrador Teorema da amostragem: prova através das séries de Fourier Telefone e telégrafo nos mesmos condutores. Amostrador Quantizador Codificador Sinal analógico Sinal em tempo discreto Sinal quantizado Sinal digital H. Nyquist, “Certain factors affecting telegraph speed,” Bell Syst. Tech. J., vol. 3, pp. 324–346, Apr. 1924.

Amostragem de sinais em tempo contínuo (3) Séries de Fourier Solução utilizada para resolver a equação de condução do calor onde u(x,t) é a função da temperatura que varia com o tempo e ao longo do corpo, t é o tempo e x é a posição e c é a constante de difusividade térmica. d'Alembert vs Euler vs Daniel Bernoulli (soma infinita de harmônicos) Fourier: Cálculo dos coeficientes com integral J. Fourier. Théorie analytique de la chaleur (in French). Paris: Firmin Didot Père et Fils, 1822 E. C. Zeeman, Controversy in science: on the ideas of Daniel Bernoulli and René Thom, Nieuw Arch. Wisk. (4) 11 (1993), no. 3, 257–282.

Amostragem de sinais em tempo contínuo (4) Séries de Fourier Solução utilizada para resolver a equação de condução do calor Separação de variáveis:

Amostragem de sinais em tempo contínuo (5) Séries de Fourier Solução utilizada para resolver a equação de condução do calor Soma das diferentes soluções que satisfazem.

Amostragem de sinais em tempo contínuo (6) Séries de Fourier Séries de Fourier: temperatura inicial em um bastão

Amostragem de sinais em tempo contínuo (7) Séries de Fourier Séries de Fourier (animação) usando 20 coeficientes, i.e., n = 1, …, 20

Amostragem de sinais em tempo contínuo (8) Teorema da amostragem Amostrador Telégrafo: de DC até limite inferior de frequência Telefone: banda passante Em caso de igualdade: o sinal de amostragem deve estar ortogonalmente defesado do sinal, exemplo, seno e cosseno. Teorema da amostragem demonstrado com séries de Fourier Ao longo do curso, assume-se que o teorema da amostragem é respeitado. N. C. Beaulieu, “Introduction to Certain Topics in Telegraph Transmission Theory,” in proceedings of the IEEE, Vol. 90, No. 2, pp. 276-279, Feb 2002

Amostragem de sinais em tempo contínuo (9) Sinal analógico

Amostragem de sinais em tempo contínuo (10) Sinais discretos no tempo são representados matematicamente por sequências. Definição de sequência É uma função cujo domínio é o conjunto do números inteiros em que representa a n-ésima amostra do sinal contínuo obtido através do processo de amostragem. Ts é o período de amostragem.

Amostragem de sinais em tempo contínuo (11) Sinal em tempo discreto

Amostragem de sinais em tempo contínuo (12) Sinal em tempo discreto

Definições (3) Multiplicação de sequências: Multiplicação de uma sequência por uma constante: Deslocamento de uma sequência: Sequências unitárias Impulso unitário

Definições (4) Uma sequência pode representada como uma soma ponderada de impulsos deslocados no tempo. Portanto, de maneira geral, tem-se

Amostragem de sinais em tempo contínuo (13) Conversor Analógico Digital em dois estágios: 1) Modulação de trem de impulsos pelo sinal contínuo 2) Conversão dos impulsos modulados em sequência discreta Conversão de de um trem de impulsos em uma sequência de tempo discreto

Amostragem de sinais em tempo contínuo (14) Sinais em tempo discreto Discretização usando somatório infinito de deltas de Dirac

Amostragem de sinais em tempo contínuo (15) Sinais em tempo discreto Discretização usando somatório infinito de deltas de Dirac Função períódica Decomposição usando séries de Fourier Notar que

Amostragem de sinais em tempo contínuo (16) Sinais em tempo discreto Discretização usando somatório infinito de deltas de Dirac Decomposição usando séries de Fourier Substituindo e aplicando a transformada de Fourier:

Amostragem de sinais em tempo contínuo (17) Sinais em tempo discreto

Amostragem de sinais em tempo contínuo (18) Sinais em tempo discreto Teorema da amostragem

Amostragem de sinais em tempo contínuo (19) Sinais em tempo discreto Diferentes casos e com ortogonalidade