Álgebra Linear Unidade II: Determinantes Prof. Edson Brito

Tópicos Estudados UNIDADE II - Determinante e matriz inversa: Aspectos introdutórios e conceitos preliminares, definição e propriedades. Desenvolvimento de Laplace, Regra de Cramer. Procedimento para inversão de matrizes

Mat-cad-2-top-1- 3 Prova I. Determinante É o valor real associado a toda matriz quadrada obtido a partir de uma série de operações bem definidas com seus elementos. Representa-se o determinante de uma matriz A por det A, ou por barras simples verticais, contendo todos os elementos da matriz.

II. Cálculo do determinante Mat-cad-2-top-1- 3 Prova II. Cálculo do determinante Matriz de ordem 1: o determinante é igual ao único elemento da matriz. Ex: A = [3] e det A = |3| = 3 Matriz de ordem 2: o determinante é obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Exemplo: Professor: esse exemplo não se encontra no material impresso.

II. Cálculo do determinante Mat-cad-2-top-1- 3 Prova II. Cálculo do determinante Matriz de ordem 3: o determinante é obtido pela regra de Sarrus. Considere a matriz A = 1.Copiam-se, ao lado da matriz, suas duas primeiras colunas. 2. Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e também o das outras duas filas paralelas e à sua direita. Somam-se os resultados: 3. Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária; o mesmo deve ser feito com as duas outras filas paralelas e à sua direita. Ao final, somam-se os resultados:

II. Cálculo do determinante Mat-cad-2-top-1- 3 Prova II. Cálculo do determinante 4. Obtém-se o determinante pela diferença entre a primeira e a segunda soma: det A = (12 + 25 + 24) – (40 + 6 + 30) = 61 – 76 = –15 Matriz de ordem maior que 3: usa-se o teorema de Laplace, que pode ser utilizado no cálculo do determinante de matrizes cuja ordem seja maior ou igual a 2.

Menor Complemento Se A é uma matriz, então o determinante menor entrada aij, é denominado por |Aij| e definido como o determinante da submatriz que sobra quando suprimimos a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A.

III. Matriz reduzida e cofator Mat-cad-2-top-1- 3 Prova III. Matriz reduzida e cofator Considere a matriz A = Matriz reduzida Aij: é obtida eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz A. Matriz reduzida A21: é obtida retirando-se a segunda linha e a primeira coluna da matriz original: O cofator do elemento aij da matriz A é o número Cij dado por: Cij = (-1)i + j . |A ij|, em que |A ij| é o determinante da matriz reduzida A ij.

Exemplo  

IV. Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos co-fatores.

IV. Teorema de Laplace  

Mat-cad-2-top-1- 3 Prova IV. Teorema de Laplace O determinante de uma matriz A = (aij)n (n ≥ 2) é obtido multiplicando-se cada elemento de uma das filas (linha ou coluna) da matriz A pelo seu respectivo cofator e adicionando-se os resultados. Exemplo: Escolhemos a 1a linha para calcular os cofatores.

IV. Teorema de Laplace Exemplo  

IV. Teorema de Laplace Se A é uma matriz nxn e Cij é o co-fator de aij,então a matriz é chamada matriz de co-fatores de A. A transposta desta matriz é chamada de adjunta de A e denotada por adj(A).

Aplicação de Determinantes A Regra de Cramer é um teorema que fornece uma fórmula para a solução de certo sistemas de p equações e n incógnitas. Esta formula, conhecida como regra de Cramer, é de interesse marginal para fins computacional, mas é útil para estudar as propriedades matemáticas de uma solução sem precisar resolver o sistema.

Regra de Cramer Teorema:

Regra de Cramer a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1 an1x1 + an2x2 + an3x3 + ... + annxn = bn . a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n . an1 an2 an3 ... ann det (A) =

Regra de Cramer b1 a12 a13 ... a1n b2 a22 a23 ... a2n det (A1) = . bn an2 an3 ... ann det (A1) = a11 b1 a13 ... a1n a21 b2 a23 ... a2n . an1 bn an3 ... ann det (A2) = . . . a11 a12 b1 ... a1n a21 a22 b2 ... a2n . an1 an2 bn ... ann det (A3) =

Regra de Cramer Se det (A)  0 temos: det(A1) x1 = det(A) , x2 = a11 a12 a13 ... b1 a21 a22 a23 ... b2 . an1 an2 an3 ... bn det (An) = Se det (A)  0 temos: det(A1) x1 = det(A) , x2 = det (A3) , x3 = det(An) xn = , ... det(A2)

Regra de Cramer Exemplo: 3x + 2y = 8 x – y = 1 x = det(A1) det(A) = –10 –5 = 2 det(A)= 3 2 1 -1 = – 3 – 2 = – 5 y = det(A2) det(A) = –5 = 1 det(A1) = 8 2 1 -1 = – 8 – 2 = – 10 S = {(x, y)} det(A2) = 3 8 1 1 = 3 – 8 = – 5 S = {(2, 1)}

Determinação da Inversa de uma Matriz Algoritmo para achar a matriz inversa: Passo 1: Calcular o determinante da matriz. Passo 2: Calcular o cofator de cada elemento da matriz. Passo 3: Formar a matriz dos cofatores com os seus valores calculados anteriormente. Passo 4: Transpor a matriz dos cofatores para obter a sua matriz adjunta. Passo 5: Divida cada elemento da matriz adjunta Adj pelo o determinada da matriz calculado no passo 1.