Interpolação Polinomial Fórmula de Newton Métodos Numéricos Interpolação Polinomial Fórmula de Newton

Interpolação polinomial Interpolação de n+1 pontos através de um polinômio de grau n: (x0,y0), (x1,y1), ... (xn,yn) polinômio

Lagrange Através da definição de funções: é possível obter o polinômio interpolatório sem resolver um sistema linear (fórmula de Lagrange).

Problema da fórmula de Lagrange Imagine que se queira o polinômio para os pontos: Como vimos, obtemos o polinômio: P(x) = x2-6x+8 que interpola estes pontos. Porém, se adicionamos mais uma medida: Temos que calcular todo o novo polinômio desde o princípio, sem poder fazer uso da informação que já temos (para os três primeiros pontos).

Fórmula de Newton A fórmula interpolatória de Newton resolve este problema: Para calcular o novo polinômio (para n+1 pontos), usamos o polinômio que já temos (que interpola os n primeiros pontos) e adicionamos novos termos. Antes de aprender a fórmula interpolatória de Newton, vejamos uns conceitos mais básicos...

Diferenças divididas Definimos as diferenças divididas de uma função através de uma fórmula recursiva: Diferenças divididas de ordem 0: Diferenças divididas de ordem superior: diferença dividida de todos menos o primeiro diferença dividida de todos menos o último último menos o primeiro

Diferenças divididas Exemplo: Tome a função f(x)=1/x e x0=1, x1=2, x2=4 e x3=5 e calcule f[x0,x1,x2,x3] f[x0] = f(x0)=1 f[x1] = f(x1)=1/2 f[x2] = f(x2)=1/4 f[x3] = f(x3)=1/5 f[x0,x1] = (f[x1]-f[x0])/(x1-x0) = -1/2 f[x1,x2] = (f[x2]-f[x1])/(x2-x1) = -1/8 f[x2,x3] = (f[x3]-f[x2])/(x3-x2) = -1/20

Diferenças divididas Exemplo: Tome a função f(x)=1/x e x0=1, x1=2, x2=4 e x3=5 e calcule f[x0,x1,x2,x3] f[x0] = f(x0)=1 f[x1] = f(x1)=1/2 f[x2] = f(x2)=1/4 f[x3] = f(x3)=1/5 f[x0,x1] = -1/2 f[x1,x2] = -1/8 f[x2,x3] = -1/20 f[x0,x1,x2] = (f[x1,x2] - f[x0,x1])/(x2-x0) = 1/8 f[x1,x2,x3] = (f[x2,x3] - f[x1,x2])/(x3-x1) = 12/160

Diferenças divididas Exemplo: Tome a função f(x)=1/x e x0=1, x1=2, x2=4 e x3=5 e calcule f[x0,x1,x2,x3] f[x0] = f(x0)=1 f[x1] = f(x1)=1/2 f[x2] = f(x2)=1/4 f[x3] = f(x3)=1/5 f[x0,x1] = -1/2 f[x1,x2] = -1/8 f[x2,x3] = -1/20 f[x0,x1,x2] = 1/8 f[x1,x2,x3] = 4/160 f[x0,x1,x2,x3,x4] = (f[x1,x2,x3]-f[x0,x1,x2])/(x3-x0) = -1/40

Esquema prático

Esquema prático (exemplo) f(x)=1/x e x0=1, x1=2, x2=4 e x3=5. Calcule f[x0,x1,x2,x3] Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 x 1 1 -1/2 1/8 2 1/2 -1/8 -1/40 4 1/4 4/160 -1/20 5 1/5

Fórmula de Newton Usando as idéias de diferenças divididas, definimos as funções abaixo: (x  x0) (x  x0,x1) ... (x  x0...xn)

Fórmula de Newton Das equações definidas, temos: um ponto (n=0) dois pontos (n=1)

Para n+1 pontos: Pn(x) = polinômio de interpolação sobre os pontos x0, x1... xn Isto é: Pn(xk) = f(xk)

Vejamos quem é Pn(x): P1(x) = f[x0] + (x-x0)f[x0,x1] P2(x) = f[x0] + (x-x0)f[x0,x1] + (x-x0)(x-x1) f[x0,x1,x2] Pn(x) = Pn-1(x) + (x-x0)...(x-xn-1) f[x0,x1,x2...xn] P1(x)

Exemplo Dados os pontos abaixo, calcular o polinômio interpolatório, usando a fórmula de Newton. Sabemos que: Precisamos calcular: f[xo], f[x0,x1], f[x0,x1,x2]

Exemplo (solução) Usando o esquema prático 15 -7 -1 1 8 -3 -1 3 logo:

Erro de truncamento Mais uma vez, retomando a expressão da função f(x) em termos das diferenças divididas: Pk(xk) logo: f(x)-Pn(x) = erro de truncamento =

Forma de Newton - Exemplo Sejam os dados: Tabela x -1 1 f(x) 2 3 -1 -2 x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 4 -1 F[x0]=1 F[x0,x1]=0 1 F[x0,x1,x2]=-1/2 1/6 -1/24 2 3 -2

Forma de Newton - Exemplo Dados: A forma de Newton que interpola estes pontos é dada por x -1 1 f(x) 2 3 -1 -2

Interpolação Polinomial Exemplo: Dada a tabela de diferenças divididas abaixo, determine o valor de P2(1,2): i x y Δyi Δ2yi 0,9 3,211 -2,010 0,620 1 1,1 2,809 -1,328 2 2,0 1,614

Interpolação Polinomial Como n = 2, o polinômio de Newton será: Calculando:

Interpolação Polinomial Interpolação com diferenças finitas (Gregory Newton): Este método é um caso especial do método de Newton, quando os valores dos xi estão igualmente espaçados. Neste caso, trabalhamos com um novo operador: O operador de diferença finita ascendente (Δ).

Operador de diferença finita ascendente: Este operador é mais simples de calcular do que o operador de diferenças divididas, pois leva em conta somente os valores de y: Ordem 0: Δ0yi=yi Ordem 1: Δyi= Δ0yi+1- Δ0yi Ordem 2: Δ2yi= Δyi+1- Δyi ⁞ ⁞ Ordem n: Δnyi= Δn-1yi+1- Δn-1yi

Interpolação Polinomial A relação entre os operadores de diferença dividida e de diferença finita ascendente é:

Fórmula de Gregory Newton: O polinômio interpolador de Gregory- Newton é encontrado através da seguinte fórmula: Onde: h é o passo dos valores xi, ou seja h=xi+1-xi ux é encontrado através da fórmula:

Exemplo: Dados os pontos abaixo, encontre o valor de P2(115) através do método de Gregory Newton. i x y 110 2,041 1 120 2,079 2 130 2,114

Usando os dados da tabela, calculamos: h=120-110=10 Calculando a tabela de diferenças finitas: i x y Δyi Δ2yi 110 2,041 0,038 -0,003 1 120 2,079 0,035 2 130 2,114

Aplicando a fórmula de Gregory Newton:

Exercícios Teóricos

1 – Dada a tabela: Use o polinômio Interpolador de Newton e determine uma aproximação para f(0). Dados:

2 – Considere a seguinte tabela de pontos de uma função y = f (x): Construa a tabela de diferenças finitas, obtenha o polinômio interpolador P3(x) pelo método de Gregory-Newton e estime f(0,72) e f(1,2). Dados: Ordem 0: Δ0yi=yi Ordem 1: Δyi= Δ0yi+1- Δ0yi Ordem 2: Δ2yi= Δyi+1- Δyi ⁞ ⁞ Ordem n: Δnyi= Δn-1yi+1- Δn-1yi

Implemente os dois métodos: Newton e Gregory-Newton Exercícios Práticos: Implemente os dois métodos: Newton e Gregory-Newton