Professora: Mariane Krull Turma: 9º ano Equações do 2º grau Professora: Mariane Krull Turma: 9º ano

Definição de equações É toda igualdade que contém letras que representam números desconhecidos chamados de variáveis e incógnitas. Veja alguns tipos de equações abaixo: 2x – 3 = 15  equação de variável x; x² + y = 8  equação de variável x e y; 2 a+ 9 = 3  equação de variável a; 90 - b = 18  equação de variável b;

Grau de uma equação com uma incógnita O grau de uma equação é o valor do maior expoente da variável na equação. Veja: 2x + 7 = 15  equação do 1º grau, pois o maior expoente da variável é igual a 1. x² + 2x + 2 = 0  equação do 2º grau, pois o maior expoente da variável é igual a 2; x³ + x² - 3x + 5 = 0  equação do 3º grau, pois o maior expoente da variável é igual a 3;

Equações do 2º grau Definição: É toda equação com uma incógnita que pode ser escrita na forma ax² + bx + c = 0, com a, b e c números reais e a≠ 0. Condição: Para que uma equação na forma ax² + bx + c=0 possa ser do 2º grau, obrigatoriamente, a ≠ 0; Exemplos: x² - x – 870 = 0 ( equação do 2º grau com incógnita x); y² - 3y + 7 = 0 ( equação do 2º grau com incógnita y); a² + 5 a + 10 = 0 ( equação do 2º grau com incógnita a);

Equações do 2º grau Mas quem são a, b e c em uma equação do 2º grau? Exemplo 1: 3x² + x + 15 = 0 a= 3  sempre vai ser o coeficiente de x² b= 1  sempre vai ser o coeficiente de x; c=15  é o termo independente;

Equações do 2º grau Exemplo 2: Identifique os coeficientes a,b e c da equação -x² - 2x + 30 = 0 Resolução: a= -1 b= -2 c=30

Equações do 2º grau completas e incompletas a) Equações do 2º grau completas: São equações que possuem o valor de a, b e c. b) Equações do 2º grau incompletas: São equações que possuem pelo menos um dos coeficientes a, b , c nulos. Exemplos: 4x² + x – 9 = 0  equação completa, pois: a= 4; b= 1; c= -9; .

Equações do 2º grau completas e incompletas Exemplos: b) 4x² + x – 9 = 0  equação completa, pois: a= 4; b= 1; c= -9; c) -x² – 8 = 0  equação incompleta, pois: a= -1; b = 0; c = -8 d) 5x² + 7x = 0 equação incompleta, pois: a= 5; b=7; c=0 e) -2x² - 8x + 3=0  equação completa, pois; a= -2; b= -8; c= 3 .

“Arrumando” equações do 2º grau Vimos que uma equação do 2º grau é apresentada na forma : ax² + bx + c = 0 , onde a ≠ 0. Quando uma equação do 2º grau não aparece dessa forma, é importante “arrumarmos” a equação para facilitar a determinação dos coeficientes a,b e c. Veja como: ( Exemplo 1 ) Determine os coeficientes a, b e c da equação do 2º grau (y + 5) (y – 5) = 4y – 8 Resolução: É necessário arrumar a equação? Vamos responder no caderno e efetuar os procedimentos necessários. .

“Arrumando” equações do 2º grau ( Exemplo 2 ) Determine os coeficientes a, b e c da equação do 2º grau : 𝑥 5 - 𝑥(𝑥 −2) 3 = 2 Resolução: É necessário arrumar a equação? Vamos responder no caderno e efetuar os procedimentos necessários. .

Exercícios

Soluções ou raízes de uma equação do 2º grau Notas importantes: 1) Quando resolvíamos equações do 1º grau, encontrávamos uma solução, pois a equação era do 1º grau; 2) Para as equações do 2º grau, encontraremos 2 soluções, que também chamamos de raízes da equação; 3) Se fossemos resolver uma equação do 3º grau encontraríamos 3 soluções e assim por diante. O grau da equação define o números de soluções da mesma;

Soluções ou raízes de uma equação do 2º grau a) Encontrando as raízes de uma equação do 2º grau completa: Inicialmente iremos aprender a resolver equações do 2º grau completas. 1º Passo: Determinar os valores dos coeficientes a, b e c.  Já aprendemos. 2º Passo: Determinar o valor de ∆ ou discriminante; 3º Passo: Utilizar a fórmula de Bháskara para finalmente encontrarmos os valores das raízes da equação;

IMPORTANTE: Determine os valores de a,b e c corretamente, pois todo o restante dos cálculos dependerá exclusivamente destes coeficientes.

Soluções ou raízes de uma equação do 2º grau 2º Passo: Determinar o valor de ∆ ou discriminante;

Soluções ou raízes de uma equação do 2º grau 3º Passo: Determinar o valor de Bháskara: O ± indica que temos dois resultados possíveis para ser a solução da equação;

Soluções ou raízes de uma equação do 2º grau Vamos praticar? ( Exemplo) Calcule as raízes da equação x² - 4x – 32=0 Resolução no caderno

Analisando o discriminante ou delta( ∆ ) Saber analisar o valor de ∆ encontrado em uma equação do 2º grau é muito importante, pois é o valor de ∆ que determina quantas raízes a equação tem. São três os casos possíveis e analisados para ∆:

Analisando o discriminante ou delta( ∆ ) 1º caso : Quando ∆ >0 Neste caso, quando ∆ é positivo, a equação do 2º grau terá duas raízes reais e distintas (diferentes) Exemplo: Verifique através do valor de ∆ encontrado, quantas raízes a equação abaixo terá: y² - 7y +6 = 0 Resolução: no caderno

Analisando o discriminante ou delta( ∆ ) 2º caso : Quando ∆ = 0 Neste caso, quando ∆ é exatamente igual a zero, a equação do 2º grau terá duas raízes reais e iguais. Exemplo: Verifique através do valor de ∆ encontrado, quantas raízes a equação abaixo terá: x² + 2x +1= 0 Resolução: no caderno

Analisando o discriminante ou delta( ∆ ) 3º caso : Quando ∆ < 0 Neste caso, quando ∆ é um número negativo, a equação do 2º grau não terá raízes reais, pois não temos raiz quadrada de números negativos dentro dos reais. Exemplo: Verifique através do valor de ∆ encontrado, quantas raízes a equação abaixo terá: 12x² - 9x +7= 0 Resolução: no caderno

Exercícios

FIM !