Métodos Numéricos Computacionais Integração Numérica Parte II Regra 3/8 de Simpson Quadratura Gaussiana

REGRA 3/8 DE SIMPSON A 2ª Regra de Simpson é obtida aproximando-se a função por um polinômio interpolador de 3º grau , que interpola nos pontos: segue que

REGRA 3/8 DE SIMPSON Integrando Regra 3/8 de Simpson

REGRA 3/8 DE SIMPSON REPETIDA Considerando todos subintervalos Enfim, o erro cometido pela regra 3/8 de Simpson é Neste caso temos m/3 subintervalos

REGRA 3/8 DE SIMPSON REPETIDA Para a determinação da fórmula composta, deve-se subdividir o intervalo de integração [a, b] em n subintervalos iguais de amplitude h. Fórmula composta: onde .

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Sejam Note que qualquer polinômio de grau 3 é combinação das funções acima. Assim, impomos que a fórmula da quadratura Gaussiana seja exata para estes polinô- mios, segue:

Quadratura Gaussiana Veremos nesta aula a Regra ou Fórmula da Quadratura de Gauss. As fórmulas de Newton-Cotes integram polinômios interpoladores e os erros envolvem a (n+1)-ésima ou (n+2)-ésima derivadas. Assim, elas são exatas para polinômios de grau < n+1 ou <n+2, respectivamente. A Fórmula da Quadratura de Gauss integra exatamente polinômios de grau<2n+2

Característica: Partição não-regular Quadratura Gaussiana Como nos Métodos de Newton-Cotes escrevemos uma integral como onde os coeficientes e os pontos para i=0,1,2,..,n devem ser determinados de modo a obter a melhor precisão possível. Característica: Partição não-regular

Quadratura Gaussiana Note que o Método da Quadratura Gaussiana envolve a determinação de 2n+2 coeficientes e , para i=0,..,n. Como temos 2n+2 parâmetros a ajustar, podemos esperar que este método ajuste exatamente polinômios de graus inferiores a 2n+1.

Quadratura Gaussiana Comecemos o desenvolvimento para dois pontos: Por simplicidade tomemos o intervalo [-1,1]. Note que sempre é possível passar do intervalo [a,b] --> [-1,1] através da transformação:

Quadratura Gaussiana Segue onde os parâmetros devem ser determinados de modo a integral ser exata para polinômios de graus inferiores a 3.

Quadratura Gaussiana como esperado, a fórmula é exata para este polinômios:

Quadratura Gaussiana Considerando podemos determinar as incógnitas através de Que gera um sistema linear 4X4. Vejamos

Quadratura Gaussiana Obtemos o sistema

Quadratura Gaussiana Resolvendo o sistema, obtemos de modo que podemos escrever a Fórmu- la de Quadratura Gaussiana, que é exata para polinômios de graus inferiores a 3, como

Quadratura Gaussiana Para 3 pontos, a fórmula da quadratura gaussiana é exata para polinômios de graus inferiores e iguais a 5. Então, Analogamente, qualquer polinômio de grau 5 pode ser escrito em termos de

Quadratura Gaussiana Agora podemos determinar as incógnitas através do sistema linear 6X6 abaixo: Escrevendo explicitamente o sistema,

Quadratura Gaussiana

Quadratura Gaussiana Resolvendo o sistema, obtemos de modo que podemos escrever a Fórmu- la de Quadratura Gaussiana, que é exata para polinômios de graus inferiores a 5, como

Quadratura Gaussiana Exemplo 1: Calcule utilizando quadratura gaussiana para 2 e 3 pontos. Solução: Temos no intervalo [1,3]. Fazendo a mudança de variáveis

Quadratura Gaussiana Então, seguem os valores exato e apro- ximados para n=2 e n=3 pontos

Quadratura Gaussiana Exemplo 2: Calcule utilizando quadratura gaussiana para 2 pontos. Solução: Temos no intervalo [0,10]. Fazendo a mudança de variáveis

Quadratura Gaussiana Então, seguem os valores exato e aproximado para n=2 são: O erro verdadeiro: O Método do Trapézio necessitaria de n=16 pontos para atingir este erro. Através de Simpson 1/3 seriam necessários n=9 pontos.

Quadratura Gaussiana Conclusão 1: As fórmulas da quadratura gaussiana produzem melhores resultados que aquelas dos métodos de Newton-Cotes com partição regulares (trapézio, Simpson,...) Conclusão 2: Quando aumentamos o número de pontos todos métodos melhoram a precisão. Conclusão 3: Se o intervalo for grande, com no caso Trapézio e Simpson Repetidas, podemos criar subintervalos e aplicar quadratura gaussiana em cada intervalo Problema: Se não tivermos f(x) e sim uma tabela de dados experimentais, então o método da quadratura gaussiana não é aplicável.

Quadratura Gaussiana Exercício 1 : Considere a integral a) Estime I por Trapézio quando h=1/4. b) Estime I por Simpson 1/3 quando h=1/4. c) Estime I por Simpson 3/8 quando h=1/4. d) Estime I por Gauss quando n=2 e n=3. Dado:

Quadratura Gaussiana Exercício 2: Dada a função , definida através da tabela abaixo calcular aplicando: A 1ª Regra de Simpson. A 2ª Regra de Simpson. xi yi 1,0 0,099 1,1 0,131 1,2 0,163 1,3 0,194 1,4 0,224 1,5 0,253 1,6 0,281

Quadratura Gaussiana Exercício 3 - Determinar o valor da integral utilizando a 2ª Regra de Simpson com n = 6 e a Quadratura Gaussiana com 4 pontos. Compare os valores encontrados.