Quadratura de Gauss-Legendre Integração Numérica
A idéia da Quadratura de Gauss-Legendre é determinar fórmulas de integração que sejam exatas para polinômios de grau ≤ 2n - 1. Para isso, relaxa-se o critério de Newton-Cotes de que os pontos de integração sejam igualmente espaçados. Os pontos podem ser escolhidos de tal maneira que a área do trapézio seja a mais próxima possível da área sob a curva. Graficamente: C D . A . B a b n = número de abscissas ou pontos distintos utilizados. A figura ilustra a integração de uma função f(x) pela regra do trapézio, a qual é baseada em um polinômio interpolador de grau 1 passando pelos ponto A e B. Os pontos C e D da curva podem ser escolhidos de tal maneira que a área do trapézio seja a mais próxima possível da área sob a curva.
Então, considerando dois pontos (n=2), o trabalho é determinar uma fórmula do tipo: De modo que ela seja exata para polinômios de grau ≤ 3. Para facilitar os cálculos, façamos uma mudança de variável de x para t, no intervalo [-1,1], representando em:
Dizer que a fórmula é exata para polinômios de grau ≤ 3 equivale dizer que a fórmula é exata para Assim: I II III IV
Podemos reunir I, II, III e IV em um sistema não linear de ordem 4: Cuja solução é:
Para generalizar o resultado para o intervalo [a, b], precisamos entender como x se relaciona com t: -1 1 (-1, a) (1,b) Para relacionar x com t, posso definir uma reta passando pelos pontos (-1, a) e (1, b), Então, tomando a equação da reta, temos que:
Para relacionar x com t, posso definir uma reta passando pelos pontos (-1, a) e (1, b), Então, tomando a equação da reta, temos que: De modo que: Assim:
Exemplo: Calcular usando a quadratura de Gauss Legendre com dois pontos.
Exemplo: Calcular usando a quadratura de Gauss Legendre com dois pontos.
Fórmula Geral n i ti Ai 1 2 2;1 ±0,5774 3 3;1 ±0,7746 0,888 0,555 4 2 2;1 ±0,5774 3 3;1 ±0,7746 0,888 0,555 4 3;2 4;1 ±0,3400 ±0,8611 0,652 0,348 5 4;2 5;1 ±0,538 ±0,906 0,568 0,478 0,237 6 4;3 5;2 6;1 ±0,239 ±0,661 ±0,932 0,468 0,361 0,171