Paralelogramos

Rombóide Retângulo Quadrado Losango

Trapézio Dois lados paralelos

As diagonais do trapézio isósceles são congruentes b b a a a + b = 180º As diagonais do trapézio isósceles são congruentes

Trapézio Escaleno Trapézio Retângulo a b a + b = 180º

Bases Médias

Base Média do Triângulo x y 2x x = 2 b y x Razão de Semelhança 2b Se um segmento tem extremidade nos pontos médios de dois lados de um triângulo, então, pela semelhança de triângulos:

Base Média do Trapézio b y x B x = B 2 y = b 2 x + y = B 2 + b BM = B + b 2

Segmento da Base Média que tem como Extremos os Pontos que Cortam as Duas Diagonais 2 B 2 b 2 m m = B 2 – b m = B – b 2

O paralelogramo ABCD da figura tem 18cm de perímetro e os segmentos CM e DM estão contidos nas bissetrizes dos ângulos Ĉ e Ď. A medida de AD é a) 3cm b) 3,2cm c) 3,4cm d) 3,6cm x A M B C D 2x 2P = x + x + x + x + 2x  18 = 6x x = 3

(Fatec – SP) Na figura, ABCD é um retângulo. A medida do segmento EF é: 4 3 x 5 – 2x h Pitágoras ST = 4  3 2 = 6 32 + 42 = a2 6 = 5  h 2  h = 12 5 a2 = 25 EF = 5 – 2  9 5 a = 5 9 = 144 25 + x2 x = 9 5 EF = 7 5 225 = 144 + 25x2 = 1,4

Distância de AB a P = 7 – x = 7 – 3 = 4 . As bases do trapézio ABCD da figura medem AB = 8cm e CD = 6cm. Sua altura mede 7cm. As diagonais AC e BD se interceptam em P. A distância de P à base AB é: a) 3,8cm b) 4cm c) 4,2cm d) 4,5cm 8 6 D C P B A x 7 – x x 7 – x = 6 8 8x = 42 – 6x Distância de AB a P = 7 – x = 7 – 3 = 4 14x = 42 x = 3

Num trapézio isósceles, as bases medem 8cm e 3cm e os ângulos da base medem 60º. Seu perímetro é a) 20cm b) 21cm c) 22cm d) 24cm 3 cos 60º = 2,5 x x x 2,5 x 1 2 = 60º 3 60º x = 5 2,5 2,5 8 2P = x + x + 8 + 3 2P = 10 + 11 2P = 21

As bases de um trapézio medem 4cm e 12cm As bases de um trapézio medem 4cm e 12cm. As diagonais desse trapézio dividem sua base média em três segmentos adjacentes proporcionais a a) 1, 2 e 1. b) 2, 3 e 2. c) 1, 2 e 3. d) 1, 3 e 1. 4 2 4 2 8 12

Em um trapézio isósceles, as bases medem 14m e 10m e a altura mede 5m Em um trapézio isósceles, as bases medem 14m e 10m e a altura mede 5m. Cada uma das duas diagonais mede: a) 10m b) 12m c) 13m d) 14m 10 14 x 5 10 2 x2 = 25 + 144 x = 13

Em um triângulo, o ponto de encontro das bissetrizes internas, o ponto de encontro das alturas, o ponto de encontro das medianas e o ponto de encontro das mediatrizes dos lados denominam-se, respectivamente, a) circuncentro, ortocentro, baricentro e incentro. b) incentro, ortocentro, baricentro e circuncentro. c) incentro, baricentro, ortocentro e circuncentro. d) circuncentro, baricentro, ortocentro e incentro.

Baricentro

Baricentro Razão de Semelhança 2 a a a b 2 b Do baricentro até o lado é 1/3 da mediana completa. Do baricentro até o vértice é 2/3 da mediana toda.

A8. A figura mostra um paralelogramo ABCD A8. A figura mostra um paralelogramo ABCD. Se M é ponto médio de CD e BD = 15, a medida de PB é: a) 8,5 b) 9 c) 10 d) 10,5 A B C D P M 3a 2a a 3a + a + 2a = 15 a = 2,5 PB = 7,5 + 2,5 PB = 10

Teorema de Tales

Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. a b c d

As retas r, s e t da figura são paralelas As retas r, s e t da figura são paralelas. Os seis segmentos que elas determinam nas duas transversais têm as medidas indicadas. O valor de x + y é: a) 9 b) 12 c) 15 d) 16,5 9 2 x y 4 6 r s t 6 x = 4 2 3 9 = 2 y x + y = 9 12 = 4x 18 = 3y x = 3 y = 6

O perímetro do paralelogramo ABCD da figura é: x x + 15 16 12 30 10 a Razão de Semelhança x + 15 x = 30 12 30 12 = 5 2 2P = 2(40) + 2(10) 12x + 180 = 30x 2P = 100 a 16 = 5 2 a = 40 x = 10

O triângulo é eqüilátero A4. Na figura, as retas r, s e t são paralelas cortadas por duas transversais. Se AC = AB, o perímetro do triângulo ABC é: a) 24 b) 25 c) 27 d) 30 60º r s t A C B 6 4 60º 6 x = 4 O triângulo é eqüilátero 4x = 36 2P = 27 x = 9

Bissetriz

Teorema da Bissetriz Interna C A AB BC = AD DC

Teorema da Bissetriz Externa C AB BD = AC CD

O triângulo ABC é isósceles, de base AC O triângulo ABC é isósceles, de base AC. Se AM é bissetriz interna, o valor de x é: a) 13 b) 12 c) 10 d) 9 A B M C x 4 6 x – 4 x x – 4 = 6 4 4x = 6x – 24 2x = 24 x = 12

Os lados de um triângulo medem 20cm, 24cm e 28cm Os lados de um triângulo medem 20cm, 24cm e 28cm. Em quanto se deve prolongar o lado menor para que ele encontre a bissetriz do ângulo externo a ele oposto? a) 120cm b) 112cm c) 108cm d) 100cm 28 20 24 x 28 20 + x = 24 x 28x = 480 + 24x 4x = 480 x = 120

Polígonos

Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Em um polígono de n lados traçando-se de um dos vértices todas as diagonais possíveis, o polígono fica dividido em (n – 2) triângulos. Si = (n – 2) . 180º Ângulo Interno de um Polígono Regular Todos os ângulos e todos os lados são iguais. ai = Si n

Soma dos Ângulos Externos de um Polígono ae ai ai + ae = 180º Si + Se = 180º . n Se = 180ºn – (n – 2) . 180º Se = 180ºn – 180ºn + 360º Se = 360º Ângulo Externo de um Polígono Regular ae = 360º n