Teoria das filas

Em duas horas????

ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS Clientes Servidores Intervalo entre chegadas (continuo) Duração do serviço (continuo) POR QUE NÃO SIMULAR???? São fórmulas relevantes???

ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS Clientes Servidores Intervalo entre chegadas Duração do serviço Sofisticações sobre o tema: fila limitada,desistência,prioridades....

ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS Clientes Servidores Intervalo entre chegadas Duração do serviço Sofisticações sobre o tema: fila limitada,desistência,prioridades.... Ignorâncias: heterogeneidade,sistemas de filas,...

O resultado mais aceito é simples Teorema de Little: E[#clientes no sistema}= N E, Taxa média de chegadas=λ, Tempo médio gasto no sistema= T, Então qualquer que seja fila ergódica, temos N E = λT (e N q E =W)..

Little´s theorem N t =# médio em (0,t), γ(t) = # acumulado de clientes-segundos até t, N t = γ(t)/t α(t) = # chegadas em (0,t), T t = tempo de sistema/cliente até t (=α -1.γ ) λ t = taxa média de chegada em (0,t) (=α -1 /t) Ergodicidade → N E =λT

MODELÃO: Processos de nascimento e morte

MODELÃO: Processos de nascimento e morte Qual o vetor de estado??? Primeiro chute: # de clientes na fila/sistema por categoria Segundo:...em filas de diferentes servidores Terceiro: memória

MODELÃO: Processos de nascimento e morte (pràticamente) sem memória São os ditos Markovianos ( M )

MODELÃO: Processos de nascimento e morte Mais fácil: população eterna ou nascimento puro Intuição tempo discreto: P(X T+1 = k)=(1-p)P(X T = k) + p P(X T = k-1) para k>1 Note p independe de k e de T.... (se quiséssemos poderíamos ter p T p K p T,k )

Modelo de nascimento contínuo: Nascimentos independentes (sem memória) P (exatamente 1 nascimento entre t e t+∆/população é k) = = λ k ∆ +o(∆), onde o(.).... o(.) e diferenciabilidade Então: se P k (t)=P[X(t)=k], temos (com P <0 (.)=0) P k (t+∆)=P k (t) [1- (λ k ∆) -o(∆)] + P k-1 (t)[ λ k ∆ +o(∆)] Ou, para ∆→0, P. k (t)= P k (t) [- (λ k )] + P k-1 (t)[ λ k ]

Modelo M de nascimento contínuo: Nascimentos independentes (sem memória) Poisson Taxa fixa de nascimentos P. k (t)= P k (t) [-λ] + P k-1 (t)[ λ] (com P <0 (.)=0). Com P o (0) =1, temos P o (t) =e -λt, P 1 (t) =λt e -λt P k (t) =(k!) -1 (λt) k e -λt (note que a cada instante as probabilidades somam 1)

Modelo M contínuo de morte : Inverso de Poisson: Tempos exponenciais Intervalos entre chegadas são exponenciais se e só se O processo de chegada é Poisson. Se chegadas Poisson, P(tempo da 1ª chegada>t) = 1- P 0 Poisson (t)= 1- e -λt,

Exponencial é sem memória : Tempos exponenciais P(tempo da 1ª chegada>t) = 1- P 0 Poisson (t)= 1- e -λt, Sabendo que até o instante T não ocorreram chegadas, Qual a probabilidade da 1ª chegada ser em (T+t)??

Exponencial é sem memória : Tempos exponenciais P(tempo da 1ª chegada>t) = 1- P 0 Poisson (t)= 1- e -λt, Sabendo que até o instante T não ocorreram chegadas, Qual a probabilidade da 1ª chegada ser em (T+t)?? P(t 1 ≤T+t/t 1 >T)= [1-P(t 1 ≤T)] -1 {P(t 1 ≤T+t) - P(t 1 ≤T)}= 1- e -λt !!!!!

M/M/1 é fácil Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ. Quais as estatísticas do sistema e qual a relação entre saída e entrada ???

M/M/1 é fácil Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ. Quais as estatísticas do sistema e qual a relação entre saída e entrada ??? Fazer grafo de nascimento e morte com bolinhas que permitam ver que o sistema de equações diferenciais é: P. k (t)= P k (t) [- (λ k )] + P k-1 (t)[ λ k ] + P k (t) [- (μ k )] + P k+1 (t)[ μ k ] = P k (t) [- (λ k + μ k )] + P k-1 (t)[ λ k ] + P k (t) [- (μ k )] + P k`+1 (t)[ μ k ] com λ k =λ e μ= μ k.

M/M/1 é fácil,mas não tanto Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ. P. k (t)= P k (t) [- (λ k )] + P k-1 (t)[ λ k ] + P k (t) [- (μ k )] + P k+1 (t)[ μ k ] = - (λ+ μ) P k (t) +λ P k-1 (t) + + μP k+1 (t) com λ k =λ e μ= μ k. Transitório Regime (se existir, ergodicidade) P. k (t)= 0

M/M/1 em regime é fácil Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ. P. k (t)= - (λ+ μ) P k (t) +λ P k-1 (t) + + μP k+1 (t) - (λ+ μ) p k +λ p k μp k+1 =0 Definido ρ=(λ/μ), e impondo ρ<1, p k =p 0 ρ k normalizando para soma de probabilidades =1, temos p 0 =1-ρ a/(1-a)=Σa k.

M/M/1: impacto do congestionamento E[N]=ρ/(1-ρ) E[T]=λ E[N] = (1/μ)/(1-ρ) Var(N)= ρ/(1-ρ) 2

M/M/1 em regime é fácil Uma fila M/M/1 com chegadas Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ (μ<λ) tem muito pouco naturalmente saída Poisson de razão λ Redes de Jackson.

Complicando a M/M/1 M/M/1 com desencorajamento (λ k cai com k/ pg 99) M/M/∞ (μ k =kμ) M/M/m (μ k = (min{k,m})μ) M/M/1/K (λ k =λ para k≤K, 0 caso contrário) M/M/m/m ( só cabem m)- bonzinho para nós M/M/1//M : pop. Finita M (λ k =[λ/(M-k)] para k≤M, 0 caso contrário) M/M/∞//M M/M/m/k/M

Servidores não homogêneos Filas x controle estocástico: servidores não homogêneos: Filas: sob custos de expansão um mínimo de capacidade de serviço é necessária. Controle: já tendo dois servidores instalados, melhor política é a de risca no chão (limiar)

Políticas de atendimento FCFS, LCFS até hipotética SCFS mudam os momentos de ordem maior que média mas não afetam “estabilidade” Redes de filas: até FCFS pode ser instável (estações virtuais) no caso não acíclico Surpresa: “kan-ban” é instável: regime não é transitório.

“Complicando” filas Markovianas Quanto tempo entre a chegada de um “bundle” de k clientes em chegada individual Poison?? Telefonia Ou Quanto tempo para ser servido por k servidores de taxas kμ, correspondente a uma taxa média μ? Erlang de parâmetros R (taxa) e k (forma) pdf: f Rk (t)= [(k-1)!] -1 R (Rt) k-1 e -Rt. com k=1 R=λ exponencial (λ e -λt ) com k→∞ “tende” para Dirac, mas “média” também “explode” (exceto se mantiver (k/R)= média constante)

Ferramental Devido à presença de produtos de convolução (pdf de “soma de tempos”, transferencia em sistemas lineares..) transformadas de Laplace ou z. Saída de M/M/1: P(vazio). (tempo de chegada +serviço) + P(não vazio) (tempo de serviço)

Mas, cuidado: paradoxo do tempo de espera Chegadas de ônibus no ponto dadas por exponencial média 60 min. Quanto tempo devo esperar por um onibus em média??? Primeira vista a falta de memória da exponencial diz 60 minutos Mas, se pensarmos que em média chegamos no meios de um intervalo entre chegadas, eu deveia esperar 30 minutos!!!

Mas, cuidado: paradoxo do tempo de espera - Mas, se pensarmos que em média chegamos no meios de um intervalo entre chegadas, eu deveria esperar 30 minutos!!! Errado: supondo 2 choferes se alternando um com intervalos de 30 e 90 minutos (em média 60) Teremos ¾ de chance chegar chofer lento e ¼ de chance de chofer rápido, dando interarrival time de 75 minutos. Para exponencial tipico interval time é de 120 minutos, o que dá 0s 60 do memoryless