Números Racionais: algumas reflexões sobre a construção do conceito OT: Acompanhamento – Recuperação de Matemática Números Racionais: algumas reflexões sobre a construção do conceito DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011 Pauta DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011 Os cegos e o elefante Cinco cegos costumavam diariamente pedir esmolas no portal de entrada da cidade e nenhum deles, até então, havia conhecido um elefante. Por isto, ao saberem que logo chegaria um elefante à cidade, decidiram pedir ao dono que parasse o animal diante do portal para que eles pudessem “ver com as mãos” o tal de elefante. E assim acontece: o primeiro cego apalpou a lateral do elefante e disse: ela parece um muro; o segundo apalpou uma orelha do elefante e disse: ele é como uma grande ventarola; o terceiro apalpou uma das pernas do elefante e disse: é como as colunas do templo; o quarto, depois de apalpar umas das presas de marfim, concluiu: é igual a uma lança; o quinto apalpou a tromba e disse: é uma grande cobra. Então o elefante prosseguiu em sua viagem, enquanto os cegos, em meio a grande falatório, não conseguiram concordar sobre o que seria o elefante, uma vez que cada um teve uma percepção parcial do animal. Adaptado por Sérgio Lorenzato, livro “ Para Aprender Matemática” (2008) de Braga (1923,p.167). DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

Os cegos e o elefante cont... Essa história sugere como é falacioso pensar que, conhecendo partes do todo, já se conhece o todo. Por isso, todos os campos da matemática previstos no currículo oficial devem ser ensinados, e mais, de modo integrado. Se concordarmos com as vantagens do ensino interdisciplinar, com mais forte razão devemos professar o ensino intradisciplinar, o qual pode ser reduzido, sinteticamente, ao ensino integrado da aritmética, geometria e álgebra. Assim fazendo, os alunos irão perceber a harmonia, coerência e beleza que a matemática encerra, apesar de suas várias partes possuírem diferentes características, tal qual uma orquestra. Além disso, seriam eliminadas do ensino da matemática algumas prolixidades que nele persistem e, ainda, seria facilitada a muitos estudantes a desejada aprendizagem. No entanto, para fazer essa integração é preciso identificar pontos de conexão entre os campos, bem como respeitar as características de cada campo ( vocabulário, simbologia, regras, conceitos, definições). DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011 Objetivo Propor algumas reflexões sobre o estudo das frações, tentando associar as práticas pedagógicas mais utilizadas a possíveis problemas ou dificuldades que têm sido observados em alunos da Educação Básica. DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

I - Estudo das frações associadas às práticas pedagógicas ATIVIDADE 1: Conceito de Fração Resolver individualmente, em 10 minutos a tarefa proposta. - Grupo 1: Problema do 4º ano (3ª série); Grupo 2: Problema do 7º ano (6ª série). DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

II- Importância do estudo das frações - Behr (1993) Perspectiva prática Perspectiva psicológica Perspectiva matemática DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011 Perspectiva Prática Do ponto de vista prático, o estudo do conceito de número racional aperfeiçoa a habilidade de dividir, que permite entender e manipular melhor os problemas do mundo real e construir o importantíssimo conceito de proporcionalidade. DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

Perspectiva psicológica Na perspectiva psicológica, os números racionais proporcionam um rico campo, dentro do qual as crianças podem desenvolver e expandir suas estruturas mentais para um desenvolvimento intelectual contínuo, sendo muito oportuno, pois normalmente são inseridos no currículo no período da transição do pensamento concreto para o pensamento operatório formal. DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

Perspectiva matemática Do ponto de vista matemático, a compreensão do número racional fornece a base sobre a qual serão construídas mais tarde as operações algébricas elementares. Martinez (1992) reforça essas ideias ao argumentar que reduzir o estudo das frações aos números decimais, como uma extensão natural do sistema decimal de numeração, provocaria uma perda de experiências pré-algébricas importantes na formação matemática dos alunos. DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011 A abordagem dos números racionais tem como primeiro objetivo levar os alunos a perceberem que os números naturais, já conhecidos, são insuficientes para resolver determinados problemas. DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011 Em que pesem as relações entre números naturais e racionais, a aprendizagem dos números racionais supõe rupturas com ideias construídas pelos alunos acerca dos números naturais, e, portanto, demanda tempo e uma abordagem adequada. DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011 Ao raciocinar sobre os números racionais como se fossem naturais, os alunos acabam tendo que enfrentar vários obstáculos: Um deles está ligado ao fato de que cada número racional pode ser representado por diferentes ( e infinitas) escritas fracionárias; por exemplo, 1/3, 2/6, 3/9 e 4/12 são diferentes representações de um mesmo número; DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011 Outro, diz respeito à comparação entre racionais: acostumados com a relação 3>2, terão que construir uma escrita que lhes parece contraditória, ou seja, 1/3 < ½; Se o “tamanho“ da escrita numérica era um bom indicador da ordem de grandeza no caso dos números naturais (8345 > 41), a comparação entre 2,3 e 2,125 já não obedece o mesmo critério; DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011 Se ao multiplicar um número natural por outro natural (sendo este diferente de 0 ou 1) a expectativa era a de encontrar um número maior que ambos, ao multiplicar 10 por ½ se surpreenderão ao ver que o resultado é menor do que 10. DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

Significados das frações Nunes(2005), PCN e Currículo- SP   Parte-todo Quociente Medida Operador DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

Significado parte-todo   Idéia central – dupla contagem A prática mais comum para explorar o conceito de fração é a que recorre a situações em que está implícita a relação parte-todo; é o caso das tradicionais divisões de um chocolate em partes iguais. A relação parte-todo se apresenta, portanto, quando um todo se divide em partes (equivalentes em quantidade de superfície ou de elementos). A fração indica a relação que existe entre um número de partes e o total de partes. Problema típico – Uma barra de chocolate foi dividida em 4 partes iguais. João comeu três dessas partes. Que fração representa o que João comeu? DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

Significado Quociente  Ideia central – Divisão e existência de duas variáveis Outro significado das frações é o de quociente; baseia-se na divisão de um natural por outro ( a:b = a/b; b≠0). Para o aluno, ela se diferencia da interpretação anterior, pois dividir um chocolate em 3 partes e comer 2 dessas partes é uma situação diferente daquela em que é preciso dividir 2 chocolates para 3 pessoas. Problema típico – Duas pizzas devem ser divididas entre 5 crianças, represente por uma fração o que cada criança receberá. DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011 Significado Medida   Ideia central – Representar uma grandeza tomando outra como referência. Uma terceira situação, diferente das anteriores, é aquela em que a fração é usada como uma espécie de índice comparativo entre duas quantidades de uma grandeza, ou seja, quando é interpretado como razão. Isso ocorre, por exemplo, quando lidamos com informações do tipo “2 de cada 3 habitantes de uma cidade são imigrantes”. Outros exemplos podem ser dados: a possibilidade de sortear uma bola verde de uma caixa em que há 2 bolas verdes e 8 bolas de outras cores (2 em 10); o trabalho com escalas em mapas (a escala é de 1cm para 100m); a exploração da porcentagem (40 em cada 100 alunos da escola gostam de futebol). Problema típico – Exprimir o comprimento do segmento PQ em termos do comprimento do segmento RS. DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011 Significado Operador   Ideia central – Valor escalar aplicado a uma quantidade. A essas três interpretações, bastante interessantes de serem exploradas, acrescenta-se mais uma, que será trabalhada nos ciclos finais do EF. Trata-se do significado da fração como operador, ou seja, quando ela desempenha um papel de transformação, algo que atua sobre uma situação e a modifica. Esta ideia está presente, por exemplo, num problema do tipo “ que número devo multiplicar por 3 para obter 2 “. Problema típico – Dei 3/4 das balas de um pacote de 40 balas a meus irmãos. Quantas balas dei a eles? DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

Significados das operações com racionais Muitos dos significados das operações, analisados em situações que envolvem números naturais, podem ser estendidos às situações com números racionais. Assim, a adição e a subtração são exploradas em situações de transformação , de combinação, de comparação. DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011 Também a multiplicação e a divisão são exploradas em diferentes situações como razão, comparação, configuração retangular. Apenas o significado da multiplicação como procedimento combinatório não é extensivo aos números racionais não inteiros. DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

As medidas e os números racionais DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

III- Tabulação das respostas obtidas na atividade 1: Classificar e tabular os exercícios apresentados na atividade 1 segundo os significados propostos.   Que significados foram predominantes? É possível sugerir causas para essa predominância? É possível apontar consequências dessa predominância? DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

Tabulação das respostas obtidas na atividade 1: Utilize as tabelas abaixo para registrar a tabulação dos resultados da atividade 1: DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011 CAFÉ = 15 MINUTOS DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

IV- Representação de frações - Kit Pedagógico - DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

V- Analisando Respostas dos Alunos ATIVIDADE 3 Para os problemas a seguir discuta e responda: Que significado é apresentado em cada problema? O que cada aluno sabe e quais suas dificuldades? É possível apontar causas para essas dificuldades? DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

V- Analisando Respostas dos alunos Solução 1 Solução 2 Solução 3 DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

V- Analisando Respostas dos Alunos Significado: O que sabe Dificuldades Solução 1: Solução 2: Solução 3: DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

Leitura/ Interpretação/ Escrita DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

VI- Vivenciando atividades do Caderno + Matemática – vol 2 Analise algumas das propostas apresentadas nos Cadernos + Matemática e classifique quanto aos significados. DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

Cadernos + Matemática - vol 2 p.61 DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

Cadernos + Matemática - vol 2 p.59 ATIV. 32 – Os três problemas e mais alguns Situação 1: um pai quer repartir 3 folhas de papel de seda entre os seus 4 filhos, de modo que todos recebam partes iguais. Como poderá fazê-lo? Situação 2: um menino necessita fazer 3 cartazes de mesmo tamanho e dispõe de 5 folhas de cartolina. Para ajudá-lo a montar os cartazes, de que maneira podemos separar as folhas de cartolina? Situação 3: a professora tem 4 folhas de papel sulfite para distribuir igualmente entre os cinco alunos de um grupo, para o trabalho de aula. Ela pede ajuda ao próprio grupo para fazer essa operação. Como vocês resolveriam a situação? DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011 Cadernos + Matemática - vol 2 p.60 Escreva, usando fração, modos de representar quanto cada uma recebeu. 4. Imagine que 2 amigas compraram juntas 3 pacotes de balas, com 10 balas em cada. Elas querem dividir igualmente entre elas. Como você faria essa divisão? DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

Sugestão: Realizar a ativ. 34 Cadernos + Matemática - vol 2 p.60 ATIV. 33 – Novos problemas 1. Duas cidades A e B têm a população de 60.000 habitantes cada uma. Metade da população da cidade A são crianças, um quarto são jovens e os restantes são adultos. Dois quintos da população da cidade B são crianças, dois décimos são adultos e o restante são jovens. Copie a tabela abaixo em seu caderno. b) Preencha a tabela e responda às questões: Onde há mais crianças, na cidade A ou na cidade B? O que é maior, dois décimos ou dois quintos da população da cidade B? Sugestão: Realizar a ativ. 34 DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011 VII - Reflexões Finais .... Os números racionais surgiram quando os naturais, que servem para contar, não foram mais suficientes para responder a todas as necessidades do homem e sua origem veio da necessidade de responder à questão da comparação entre duas grandezas. O modelo parte-todo não segue essa lógica, e por isso acrescenta algumas dificuldades ao processo de aprendizagem das frações. DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011   Manusear os diversos significados. Ultrapassar o modelo parte - todo e reconhecer a fração imprópria. Construir a ideia de equivalência. Construir a ideia de ordem. DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011 Encerramento A Matemática relacionada a nossa vida DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011

DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011 A todos os professores participantes nesta OT e aos PCOPs que integram a equipe de apoio. DERSV – Recuperação: 2º encontro - Equipe de matemática -2011