REPRESENTAÇÃO FUNÇÃO

Gráficos de uma função Representação gráfica Esse gráfico apresenta a variação da taxa de desemprego relativa à população brasileira economicamente ativa entre 2006 e 2010. 

Plano cartesiano Nesse plano, observamos: A(1, 3): tem abscissa 1, ordenada 3 e está no 1o quadrante.  B(–1, 2): tem abscissa –1, ordenada 2 e está no 2o quadrante.  C(–2, –2): tem abscissa –2, ordenada –2 e está no 3o quadrante.

Plano cartesiano Observe que: A cada par ordenado corresponde um único ponto no plano cartesiano. A cada ponto do plano cartesiano corresponde um único par ordenado. Todo ponto P(x, y) do 1o quadrante tem x > 0 e y > 0; Todo ponto P(x, y) do 2o quadrante tem x < 0 e y > 0; Todo ponto P(x, y) do 3o quadrante tem x < 0 e y < 0; Todo ponto P(x, y) do 4o quadrante tem x > 0 e y < 0.

Construção do gráfico de uma função Marcamos os pontos no plano cartesiano. x y = f(x) = x (x, y) y = f(0) = 0 (0, 0) 1 y = f(1) = 1 (1, 1) 2 y = f(2) = 2 (2, 2) Esses pontos do plano cartesiano compõem o gráfico da função f. 

Esse gráfico representa uma função. Reconhecimento dos gráficos que representam uma função Exemplo Considerando D = ℝ e CD = ℝ, vejamos quais gráficos representam ou não uma função. Esse gráfico representa uma função. a)

Esse gráfico não representa uma função. Reconhecimento dos gráficos que representam uma função Exemplo Esse gráfico não representa uma função. b)

Esse gráfico não representa uma função. Reconhecimento dos gráficos que representam uma função Exemplo Esse gráfico não representa uma função. c)

Esse gráfico representa uma função. Reconhecimento dos gráficos que representam uma função Exemplo d) Esse gráfico representa uma função. OBS.: Para verificar se o gráfico é de uma função, traça-se linhas verticais por todo o gráfico. Se pelo menos uma dessas linhas cortar o mesmo em mais de um ponto, não é função.

EXERCÍCIOS 1) Construir o gráfico da função f: A → B, definida pela lei f(x) = 2x – 3, em que A = {–1, 0, 1, 3} e B = {–5, –3, –1, 3, 7, 9}. Resolução Para determinar os pontos (x, y) do gráfico, calculamos y = f(x) para cada x do domínio A, substituindo o valor de x na lei da função. Depois, marcamos os pontos no plano cartesiano. 

Os pontos do plano cartesiano compõem o gráfico da função f. Resolução Para determinar os pontos (x, y) do gráfico, calculamos y = f(x) para cada x do domínio A, substituindo o valor de x na lei da função. Depois, marcamos os pontos no plano cartesiano.  x y = f(x) = 2x – 3 (x, y) ‒1 y = f(‒1) = 2 ∙ (‒1) ‒ 3 = ‒5 (‒1, ‒5) y = f(0) = 2 ∙ 0 ‒ 3 = ‒3 (0, ‒3) 1 y = f(1) = 2 ∙ 1 ‒ 3 = ‒1 (1, ‒1) 3 y = f(3) = 2 ∙ 3 ‒ 3 = 3 (3, 3) Os pontos do plano cartesiano compõem o gráfico da função f.

Análise de gráficos de funções Intervalos de crescimento e de decrescimento Disponível em: <www.ibge.gov.br>. Acesso em: 14 fev. 2011.

Intervalos de crescimento e de decrescimento Exemplo Essa reta representa uma função crescente, pois, quanto maior o valor de x, maior o valor de y.

Intervalos de crescimento e de decrescimento Exemplo Essa reta representa uma função decrescente, pois, quanto maior o valor de x, menor o valor de y.

Intervalos de crescimento e de decrescimento Exemplo Nesse caso, a função é crescente para x ≤ 0 e decrescente para x ≥ 0.

Intervalos de crescimento e de decrescimento Uma função f é crescente em um intervalo do domínio se, e somente se, para quaisquer valores x1 e x2 desse intervalo, com x1 < x2, tem-se f(x1) < f(x2). Uma função f é decrescente em um intervalo do domínio se, e somente se, para quaisquer valores x1 e x2 desse intervalo, com x1 < x2, tem-se f(x1) > f(x2).

Valor máximo e valor mínimo Exemplo Im(f) = {y ∈ ℝ / y ≤ 3} f tem um máximo em (2, 3). Logo, ym = 3 é o valor máximo de f(x).

Valor máximo e valor mínimo Exemplo Im(g) = {y ∈ ℝ / y ≥ –4} g tem um mínimo em (5, –4). Logo, ym = –4 é o valor mínimo de g(x).

Estudo do sinal Assim, podemos dizer que: f é positiva para x > –2; f é negativa para x < –2; f é nula para x = –2.

EXERCÍCIOS 2) Indicar o(s) intervalo(s) do domínio no(s) qual(is) a função f: ℝ  ℝ, representada no gráfico, é crescente e o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) ela é decrescente. Resolução A função é: crescente em [–1, 1], pois, nesse intervalo, quanto maior o valor de x, maior o valor de y. decrescente em ]–∞, –1] e [1, +∞[, pois, nesses intervalos, quanto maior o valor de x (domínio), menor o valor de y (imagem);

EXERCÍCIOS 3) A função f: ℝ → ℝ está representada no gráfico abaixo. a) Em que intervalos do domínio a função f é positiva? b) Em que intervalos do domínio a função f é negativa? c) Para que valores de x a função f é nula? d) Qual é o valor mínimo de f?

Resolução a) A função f é positiva nos intervalos ]–∞, –1[ e ]1, +∞[.  b) A função f é negativa no intervalo ]–1, 1[. c) A função f é nula em x = 1 e em x = –1. d) O valor mínimo de f é –1.

Funções definidas por mais de uma sentença Gráfico e determinação de valores Exemplo f: ℝ → ℝ tal que: Observe que o comportamento do gráfico varia conforme o intervalo do domínio.

Funções definidas por mais de uma sentença Gráfico e determinação de valores Exemplo f: ℝ → ℝ tal que: Observe que o comportamento do gráfico varia conforme o intervalo do domínio.

EXERCÍCIOS 4) Considerando a função g(x) = , calcular: a) g(1) b) g(3) Resolução a) Para x = 1, usamos a primeira sentença: g(1) = 1 + 4 = 5; b) Para x = 3, usamos a segunda sentença: g(3) = 3 ∙ 3² = 3 ∙ 9 = 27.