Aulas Introdutórias O processo de medida; Incerteza; Algarismos significativos e arredondamento; Tratamento de erros experimentais; O análise gráfico: Elaboração de Tabelas Elaboração de um bom gráfico; Linearização; Regressão linear. O processo de medida; Incerteza; Algarismos significativos e arredondamento; Tratamento de erros experimentais; O análise gráfico: Elaboração de Tabelas Elaboração de um bom gráfico; Linearização; Regressão linear.

Aula 3 Tabelas, gráficos, linearização e regressão linear Wellington Akira Iwamoto (com modificações)

Tabelas e Gráficos Gráficos e tabelas são usados para apresentar resultados de um experimento. Traduzem de forma clara e objetiva os resultados obtidos. Tabelas: organização dos dados coletados em linhas e colunas; Gráficos: ilustração dos dados; facilita a visualização da relação/dependência entre os números

Tabelas Elementos de uma tabela: Título– inclui a numeração da tabela e breve descrição dos dados reportados e as incertezas podem ser incluídas aqui. Nome das variáveis no cabeçalho – grandeza física reportada em cada coluna/fila e suas unidades Valores – medidas ou quantidades calculadas necessárias no análise de resultados Exemplo 1: incertezas no título Exemplo 3: colunas separadas para incertezas Exemplo 2: incertezas acompanhando os dados Tabela 2: distância (incerteza 𝛥𝑦=0,05 cm) e tempo de queda médio de uma esfera no experimento de queda livre. Tabela 1: distância e tempos de queda de uma esfera no experimento de queda livre. Tabela 1: distância e tempos de queda de uma esfera no experimento de queda livre. As incertezas nas medidas são 𝛥𝑦=0,05 cm e 𝛥𝑡=1× 10 −5 s. 𝒚±𝛥𝑦(cm) 𝒕 𝟏 ±𝛥𝑡 (s) 𝒕 𝟐 ±𝛥𝑡 (s) 𝒕 𝟑 ±𝛥𝑡 (s) 𝒕 𝟒 ±𝛥𝑡 (s) 𝒕 𝟓 ±𝛥𝑡 (s) 5,00±0,05 0,10153±1× 10 −5 0,10160±1× 10 −5 0,10152±1× 10 −5 0,10155±1× 10 −5 0,10148±1× 10 −5 10,00±0,05 0,14359±1× 10 −5 0,14358±1× 10 −5 0,14360±1× 10 −5 0,14361±1× 10 −5 15,00±0,05 0,17586±1× 10 −5 0,17585±1× 10 −5 0,17584±1× 10 −5 0,17587±1× 10 −5 20,00±0,05 0,20310±1× 10 −5 0,20306±1× 10 −5 0,20305±1× 10 −5 0,20307±1× 10 −5 25,00±0,05 0,22704±1× 10 −5 0,22703±1× 10 −5 0,22705±1× 10 −5 0,22706±1× 10 −5 30,00±0,05 0,24870±1× 10 −5 0,24872±1× 10 −5 0,24869±1× 10 −5 0,24871±1× 10 −5 35,00±0,05 0,26864±1× 10 −5 0,26866±1× 10 −5 0,26862±1× 10 −5 0,26865±1× 10 −5 0,26863±1× 10 −5 𝒚 (cm) 𝒕 𝟏 (s) 𝒕 𝟐 (s) 𝒕 𝟑 (s) 𝒕 𝟒 (s) 𝒕 𝟓 (s) 5,00 0,10153 0,10160 0,10152 0,10155 0,10148 10,00 0,14359 0,14358 0,14360 0,14361 15,00 0,17586 0,17585 0,17584 0,17587 20,00 0,20310 0,20306 0,20305 0,20307 25,00 0,22704 0,22703 0,22705 0,22706 30,00 0,24870 0,24872 0,24869 0,24871 35,00 0,26864 0,26866 0,26862 0,26865 0,26863 𝒚±𝛥𝑦(cm) 𝒕 (s) 𝝈 𝒕 (s) 5,00±0,05 0,10 0,02 10,00±0,05 0,14 0,01 15,00±0,05 0,18 0,04 20,00±0,05 0,20 25,00±0,05 0,23 30,00±0,05 0,25 0,03 35,00±0,05 0,27

Gráficos Gráficos à mão usando papel milimetrado; Uma folha, um gráfico; Partes: Título: numeração e breve descrição. Referência à tabela onde estão reportados os dados. Eixos Grandeza e unidade Escala Valores de referência na escala Dados desenhados Símbolos de incerteza Não aparecem nos eixos Nunca se conectam os pontos!!! Em caso de regressão linear, desenha-se a reta avaliando valores da abscissa usando a equação encontrada após o tratamento de dados.

Barras de erro e símbolos abscissa ordenada Posição central: dado da tabela, par (abscissa, ordenada). Barra de erro da abscissa começa em 𝑥 −∆ 𝑥 total e termina em 𝑥 +∆ 𝑥 total . O mesmo vale para a ordenada. Importante Na abscissa sempre vai a variável independente, que é aquela que controlamos/mudamos na coleta de dados; Na ordenada sempre vai a variável dependente, que é aquela que medimos; Barras muito pequenas? Usar símbolos que indicam incerteza   X

Análise de gráficos – Diagrama de fluxo Comparação com a teoria; Os dados no gráfico seguem uma relação linear? Sim Fazemos uma regressão linear usando os dados Equação da reta; Relação entre a equação da reta e a grandeza física de interesse; Cálculo de incerteza e comparação com valores “teóricos”. Não Linearização: propomos novas variáveis que tenham uma relação linear Regressão linear sobre as novas variáveis

Linearização e lei de potência Leis físicas podem relacionar grandezas físicas segundo uma lei de potência da forma 𝑦 𝑥 =𝑐 𝑥 𝑑 Queda livre: y(𝑡)= 1 2 𝑔 𝑡 2 Trajetória do projétil: 𝑦(𝑥)= 𝑔 2 𝑣 𝑜 2 𝑥 2 Exemplos Movimento circular com aceleração angular constante : θ(𝑡)= 1 2 𝛼 𝑡 2 Dependendo dos dados coletados, pode ser difícil de distinguir em gráfico linear entre diferentes leis de potência: 𝑦 𝑥 =𝑐 𝑥 1 𝑦 𝑥 =𝑐 𝑥 2 𝑦 𝑥 =𝑐 𝑥 3

Linearizando a lei de potência Calculando o logaritmo dos dois lados da equação, seja em base 10 (log) ou logaritmo natural (ln), vemos que (usando ln) ln⁡(𝑦)=ln⁡(𝑐 𝑥 𝑑 ) = ln 𝑐 +ln⁡( 𝑥 𝑑 ) = ln 𝑐 +𝑑ln⁡(𝑥) Redefinindo Y=ln⁡(𝑦), X= ln 𝑥 , 𝑎=𝑑,e 𝑏=ln 𝑐 , notamos que as novas variáveis seguem uma relação linear, pois obtemos a equação da linha reta: Y=𝑎𝑋+𝑏 𝑏= coeficiente linear da reta 𝑎= coeficiente angular da reta ln 𝑥𝑦 =ln x +ln(y) ln 𝑧 𝑐 =c ln(z)

Após linearizar os dados... 𝑌=ln⁡(𝑦) 𝑎= inclinação da reta b=ln⁡(𝑐) Valor de corte no eixo Y 𝑋=ln⁡(𝑥) y(𝑡)= 1 2 𝑔 𝑡 2 Exemplo: equação da queda livre Após a linearização, as variáveis seguiram a relação linear: Y=ln y =2 ln 𝑡 +ln 1 2 𝑔 =𝑎𝑋+𝑏

Linearização e substituição de variáveis Se conhecemos a lei física que estamos estudando podemos propor variáveis secundárias que seguem uma relação linear. Exemplo: consideremos a equação da queda livre y(𝑡)= 1 2 𝑔 𝑡 2 Fazendo a substituição 𝑋=𝑡 2 obtemos Y=y 𝑡 = 1 2 𝑔𝑋=𝑎𝑋+𝑏, onde o coeficiente linear, 𝑏 , é previsto pela teoria como sendo 𝑏 ≈0 e o coeficiente angular. 𝑋= 𝑡 2 (s2) 𝑌=𝑦 (cm) a= inclinação da reta 𝑏≈0

Calculando a aceleração da gravidade 𝑋=ln⁡(𝑡) 𝑌=ln⁡(𝑦) 𝑏 =ln 1 2 𝑔 𝑎=2 Nos dois casos precisamos conhecer a melhor reta que descreve os dados Logaritmos Calculamos o valor de 𝑔 usando o coeficiente linear da reta. O coeficiente angular confirma a potência de t na equação da teoria, 𝑏≈0 𝑋= 𝑡 2 (s2) 𝑌=𝑦 (cm) 𝑎= 1 2 𝑔 Regressão Linear “ao olho”= método gráfico Novas variáveis Calculamos o valor de 𝑔 usando o coeficiente angular da reta. O coeficiente linear, neste caso, confirma que 𝑦 0 =0. Método dos Mínimos Quadrados 𝑏= corte no eixo y 𝑎= cálculo da inclinação da melhor reta que podemos desenhar. Usando dois pontos com coordenadas ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) e ( 𝑥 2 , 𝑦 2 ) sobre a reta que não sejam medidas: 𝑎= 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1

E quanto a propagação de erro?? Os métodos de regressão linear permitem calcular a incerteza dos coeficientes linear e angular. Com essa incerteza e usando as técnicas de cálculo de propagação de erro, encontramos o erro da grandeza física de interesse. Exemplo - de novo a queda livre: para calcular o valor de 𝑔 usando qualquer um dois dois métodos de linearização... Equação da reta com a lei de potência Equação da reta com substituição de variáveis Y=𝑎𝑋+𝑏=2𝑋+ ln 1 2 𝑔 Y=𝑎𝑋+𝑏= 1 2 𝑔𝑋 Da regressão, obtemos 𝑎 e 𝜎 𝑎 além de 𝑏 e 𝜎 𝑏 . Isolando g 𝑏 =2∗exp(𝑏), calculamos: 𝝈 𝒈 = 𝑑𝑔(𝑏) 𝑑𝑏 𝜎 𝑏 2 = 𝟐 𝒆 𝒃 𝝈 𝒃 𝟐 Da regressão, obtemos 𝑏 e 𝜎 𝑏 além de 𝑎 e 𝜎 𝑎 . Isolando 𝑔 𝑎 =2𝑎, calculamos: 𝝈 𝒈 = 𝑑𝑔(𝑎) 𝑑𝑎 𝜎 𝑎 2 = 𝟐 𝝈 𝒂 𝟐 Podemos ainda comparar com o valor “teórico” de 𝑔 calculando o percentual de erro: %𝐸= 𝑔 teo − 𝑔 reg 𝑔 teo ×100

Método dos Mínimos Quadrados Consideremos o conjunto de resultados na tabela: 𝒙 𝒊 ±∆ 𝒙 𝒊 𝒚 𝒊𝟏 𝒚 𝒊𝟐 𝒚 𝒊𝟑 𝒚 𝒊 𝝈 𝒚 𝒊 𝜎 𝑖 =∆ 𝑦 𝑖total = ∆𝑦 2 + 𝝈 𝒚 𝒊 2 vx1x vy1 vy2 vy3 Média desvio padrão da média Incerteza total ATENÇÃO: daqui para frente 𝜎 𝑖 ≡∆ 𝑦 𝑖total Consideremos também que existe uma lei física, verdadeira, tal que: 𝑓 𝑥 𝑖 , 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , … = 𝑦 𝑖 Como descobrimos, a partir de um conjunto de dados: os parâmetros 𝑎 𝑖 ? a propagação da incerteza na determinação desses parâmetros?

A probabilidade de obtermos um resultado 𝑦 𝑖 está contida dentro de uma distribuição gaussiana associada à função f dada por: onde Essa probabilidade é máxima quando a função dentro da exponencial é mínima, o que é verdade se

E se temos uma função linear??? No lugar de ficar pensando nos inúmeros tipos de funções existentes pensamos no caso mais simples: a equação da linha reta! Neste caso 𝑓 𝑥 𝑖 , 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , … =𝑓 𝑥 𝑖 ,𝑎,𝑏 =𝑎 𝑥 𝑖 +𝑏 Resolver o problema descrito na transparência anterior considerando a função acima é fazer uma regressão linear, lembrando que Derivando a função com relação aos dois parâmetros, coeficientes linear e angular da equação da reta obtemos:

Resolvendo o sistema de equações acopladas (faça em casa!) obtém-se onde e as incertezas do valor dos coeficientes são:

Tabelas auxiliares para mínimos quadrados Tabela de dados: 𝒙 𝒊 ±∆ 𝒙 𝒊 𝒚 𝒊𝟏 𝒚 𝒊𝟐 𝒚 𝒊𝟑 𝒚 𝒊 𝝈 𝒚 𝒊 𝜎 𝑖 =∆ 𝑦 𝑖total = ∆𝑦 2 + 𝝈 𝒚 𝒊 2 vx1x vy1 vy2 vy3 Média desvio padrão da média Incerteza total Se os dados seguem uma relação linear, devemos construir uma tabela para desenvolver o método dos mínimos quadrados. No caso geral: 𝒙 𝒊 𝒚 𝒊 𝝈 𝒊 𝒘 𝒊 =𝟏/ 𝝈 𝟏 𝟐 𝒘 𝒊 𝒙 𝒊 𝒚 𝒊 𝒘 𝒊 𝒙 𝒊 𝒙 𝒊 𝒘 𝒊 𝒙 𝒊 𝒘 𝒊 𝒚 𝒊 .. Somas 𝚺𝒘 𝒊 𝚺𝒘 𝒊 𝒙 𝒊 𝒚 𝒊 𝚺𝒘 𝒊 𝒙 𝒊 𝟐 𝚺𝒘 𝒊 𝒙 𝒊 𝚺𝒘 𝒊 𝒚 𝒊 Não esquecer!!!