Sistemas de Controle III N8SC3 Prof. Dr. Cesar da Costa 4.a Aula: Matriz de Transição de Estado

Matriz de Transição de Estado Nas seções anteriores definimos um par de Equação de Estado : (1) (2)

Matriz de Transição de Estado Onde para duas ou mais Equações Diferenciais simultâneas: A e C são matrizes 2 x 2 ou de maior ordem; b e d são vetores coluna com duas ou mais linhas; Nesta seção vamos introduzir a Matriz de Transição de Estado : (3) A Matriz de Transição de Estado é a solução da Equação de Estado

Autovalores de uma Matriz A (n x n) Os autovalores de uma Matriz (n x n) são as raízes da Equação característica: (4) Onde I é a matriz (n x n) identidade de A. Os autovalores são as vezes chamados de raízes características .

Cálculo do determinante de uma matriz quadrada Determinante de uma matriz A de 1ª ordem: Dada uma matriz quadrada A de 1ª ordem A = [a11], seu determinante será o número a11. Ou seja: det A = a11 Determinante de uma matriz A de 2ª ordem. Dada uma matriz quadrada A de 2ª ordem, seu determinante será obtido fazendo a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Ou seja:

Cálculo do determinante de uma matriz quadrada Determinante de uma matriz A de 3ª ordem. Para calcular o determinante de uma matriz quadrada A de ordem 3 utilizamos o método de Sarrus. Observe como se dá esse processo: Considere a matriz quadrada de 3ª ordem a seguir:

Cálculo do determinante de uma matriz quadrada O método de Sarrus consiste em: 1º: Repetir as duas primeiras colunas da matriz ao lado da última coluna. 2º: Somar o produto dos elementos da diagonal principal com o produto dos elementos das duas diagonais paralelas à principal.

Cálculo do determinante de uma matriz quadrada 3º: Somar o produto dos elementos da diagonal secundária com o produto dos elementos das duas diagonais paralelas à secundária: 4º: O determinante será a diferença entre os resultados obtidos nos passos 2 e 3, ou seja:

Cálculo do determinante de uma matriz quadrada

Autovalores de uma Matriz A (n x n) Exemplo 1: Considere, por exemplo, a seguinte matriz A. Determine os autovalores de A. Resolvendo-se a equação característica (4):

Autovalores de uma Matriz A (nxn)

Autovalores de uma Matriz A (nxn) Exemplo 2: Considere, por exemplo, a seguinte matriz A. Determine os autovalores de A. Resolvendo-se a equação característica (4):

Autovalores de uma Matriz A (nxn)

Autovalores de uma Matriz A (nxn) Autovalores de uma Matriz A (nxn) Exemplo 3: Considere, por exemplo, a seguinte matriz A. Determine os autovalores de A. Resolvendo-se a equação característica (4):

Autovalores de uma Matriz A (n x n)

Computação da Matriz de Transição de Estado Considere a Matriz A (n x n) e a Matriz identidade I (n x n). Por definição , os autovalores de A são as raízes de um Polinômio de ordem n. (5)

Computação da Matriz de Transição de Estado Recorde-se que a expansão de um determinante produz um polinômio. As raízes do polinômio da Equação 5 podem ser números reais ou complexos. A evolução da Matriz de Transição de Estado é baseada no Teorema de Cayley-Hamilton. Este teorema diz que uma Matriz pode ser expressa como um polinômio de (n-1) graus em termos da Matriz A: (6)

Computação da Matriz de Transição de Estado Na equação (6) os coeficientes ai (i = 0, 1, 2,...n-1) são funções dos autovalores (lambda) Se os autovalores lambda da matriz A satisfazem a seguinte condição, ou seja, são distintos: Os coeficientes ai podem ser calculados pelas seguintes Equações:

Computação da Matriz de Transição de Estado Exemplo 4: Determine a matriz de transição de estado . . Dada a matriz A. Solução: Resolvendo-se os autovalores da matriz A:

Autovalores da Matriz A

Cálculo dos Coeficientes ai, conforme Equação (6) Como a matriz A é de ordem 2 x 2, computamos apenas os dois primeiros termos da equação (6): (7) Os coeficientes a0 e a1 podem ser determinados pelas Equações :

Cálculo dos Coeficientes ai, conforme Equação (6) Substituindo-se nas equações os autovalores da matriz A calculados: Resolvendo-se o sistema de equações, tem-se:

Cálculo da Matriz de Transição de Estado Substituindo-se os coeficientes calculados na Equação (7), tem-se: Substituindo-se a matriz identidade e a matriz A, tem-se:

Cálculo da Matriz de Transição de Estado Fazendo as operações com as matrizes, tem-se a matriz de transição de estado:

Computação da Matriz de Transição de Estado Exercício 5 (lista): Determine a matriz de transição de estado . . Dada a matriz A.