Funções de mais de uma variável - Limite e Continuidade Everton Lopes

Limite e Continuidade O conceito de limite de uma função de duas ou mais variáveis é análogo ao caso de uma variável. Vimos que a noção de vizinhança de um ponto foi fundamental na definição de limite de uma só variável. A vizinhança de um ponto xo em R é qualquer intervalo aberto que contenha xo. Trabalhamos, em geral, com vizinhanças centradas em xo e de raio r, ou seja, intervalos da forma ] xo  r, xo + r [. xo xo + r xo  r

interior à circunferência de centro ( xo, yo ) e raio r. Limite e Continuidade Podemos estender o conceito de vizinhança no plano e no espaço Uma vizinhança de centro em ( xo, yo ) e raio r no plano é o conjunto dos pontos do plano cuja distância a ( xo, yo ) é menor que r, ou seja, Isto corresponde à região interior à circunferência de centro ( xo, yo ) e raio r. xo yo

Analogamente, no espaço uma vizinhança de centro em Po Limite e Continuidade Analogamente, no espaço uma vizinhança de centro em Po e raio r é o interior da esfera de centro em Po e raio r. Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis de domínio D e seja Po = (xo,yo) um ponto tal que qualquer vizinhança de Po contém pelo menos um ponto de D distinto de Po. (xo,yo) xo yo Estamos interessados em descrever o comportamento de z = f(x,y) para pontos próximos de Po.

função quando (x,y) se aproxima de Po, Limite e Continuidade Consideremos a seguinte função O domínio dessa função é o conjunto dos pontos do R2 tais que 2x  y  0, ou seja, é todo o plano menos a reta y = 2x. O ponto Po(1,2)  D(f) mas qualquer vizinhança de Po contém pontos de D 1 2 Vamos analisar o comportamento dessa função quando (x,y) se aproxima de Po, isto é, quando (x,y)  (1,2).

Limite e Continuidade Observemos que, para (x,y)  (1,2), podemos reescrever a função como Assim, se (x,y) se aproxima de (1,2) temos que f(x,y) se aproxima de 1. Dizemos que De uma maneira geral, dizemos que se podemos fazer f(x,y) arbitrariamente próximo de L, bastando para isso fazer (x,y) suficientemente próximo de (xo,yo) (exercícios)

Limite e Continuidade No caso de função de uma variável temos o limite de uma função existe se e somente se os limites laterais são iguais Para o caso de uma função de uma variável cujo domínio está em R, temos que a variável x pode se aproximar de xo por dois “caminhos”: vindo pela direita ou pela esquerda de xo. xo  

Limite e Continuidade No caso de uma função de duas variáveis z = f(x,y) um ponto P(x,y) pode se aproximar de Po=(xo,yo) por uma infinidade de caminhos. Análogo ao caso de uma variável, temos o seguinte resultado: Po Se uma função z = f(x,y) tem limites diferentes quando (x,y) se aproxima de (xo,yo) por caminhos diferentes, então não existe.

Limite e Continuidade Exemplo: Seja Vamos calcular o limite de f(x,y), Vamos calcular o limite de f(x,y), quando (x,y)  (0,0) ao longo dos caminhos y = kx . (observemos que y = kx é um feixe de retas que passam pela origem e que para cada valor de k temos um caminho diferente ) . Consideremos y = kx.

Limite e Continuidade Substituindo na expressão da função temos Assim, Logo, para cada valor de k temos um valor distinto para o limite e portanto o limite não existe Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis e Po(xo,yo) um ponto do domínio de f. Dizemos que f é contínua em Po se, e somente se

1) A definição é análoga para funções de n variáveis Limite e Continuidade 1) A definição é análoga para funções de n variáveis Observações: 2) Se a condição não for satisfeita, isto é, se o limite não existir ou não for igual ao valor da função no ponto, dizemos que a função é descontínua em (xo,yo) ou que (xo,yo) é um ponto de descontinuidade da função 3) Se f e g são contínuas em Po, então f  g, f.g são contínuas em Po e f /g é contínua em Po se g(Po) 0 4) Funções polinomiais e racionais são contínuas em seus domínios