Análise Espectral Jean Baptiste J. Fourier (1768-1830) Análise de Fourier (análise harmônica) - decompor série temporal de um fenômeno na soma de várias ondas (co)senoidais. prover modelo determinístico de previsão de um fenômeno Referências 1) Jenkins and Watts (1968). Spectral analysis and its applications. 2) Wilks, D. (2006) Statistical Methods in Atmospheric Sciences (item 8.4) Jean Baptiste J. Fourier (1768-1830) Onda quadrada como soma de 5 funções periódicas Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

Xr = X(t=r) , função discreta e contínua Definições Função periódica: f(x) = f(x+L), período L L ▲ x=0 Série de Fourier: x(t) T t X(t)=Xr  Seja N = 2n (par) por simplicidade, Xr = X(t=r) , função discreta e contínua t = r, r  [-n,...,0,...,n-1] -n (n-1)

Por definição : Série de Fourier de Xr ou X(t) é m=0 m=n Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

t r Am -Am t fm Freqüência = 1/período Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

xr r xr r Série temporal Xr N eventos Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

xr r xr r A função X(t) é composta da soma de senos e cossenos cujas frequências são harmônicos ou múltiplos da frequência fundamental (n harmônicos) Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

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Múltiplos harmônicos embutidos x(t) t Múltiplos harmônicos embutidos x(t) t Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

n harmônicos de frequência fm = m/N N/2 = total de harmônicos m Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

O que significa m=0 ? x(t) t fm(m =0) = 0  Média A0 t Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

Cálculo dos coeficientes Am e Bm Solução: sabendo as integrais notáveis Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

Cálculo dos coeficientes Am e Bm (Obs) Se N é ímpar tq N = 2n-1  solução idêntica com An = 0 Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

Representação dos coeficientes de Fourier na forma complexa, em Amplitude e Fase -Im(i) -Bm m Re Am Define-se Xm = coeficiente complexo de Fourier O cálculo de (Am,Bm) (ou Xm) é chamado de Transformada Discreta de Fourier Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

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Cálculo de Xm Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

Calcular os harmônicos m  (-n,n-1) = (-4,3) Exemplo: Cálculo de Xm Calcular os harmônicos m  (-n,n-1) = (-4,3) Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

m m -------- Média A0 Xm* (Conjugado Complexo) -i 1.03 +i 1.03 Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

Exemplo Reconstituir X (r = - 4) Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

Espectro de Energia Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

Espectro Discreto de Energia ou Periodograma (fração da variância que cada harmônico responde) Exemplo anterior: -i 1.03 +i 1.03 S2(Xm) chamado Espectro Discreto de Energia ou Periodograma (às vezes chamado espectro de linha de Fourier, pelas linhas (bandas) de frequência discretas m Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

Espectro de Energia (contínuo) Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

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Espectro de Potência A variância da série Xr segundo Teorema de Parseval (f) (f) é chamado de espectro de potência de Fourier (contínuo) área sob curva  Sx2 (a variância da série é igual à integral do espectro de potência) f Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

TF de uma constante é uma função delta Exemplos: X(t) t b a S(f) f Dominado pela baixa frequência TF de uma constante é uma função delta X(t) t S(f) f Dominado pelas baixas frequências Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

----- pulso rápido  TF tende a ficar constante análogo a ruído branco X(t) S(f) f 1 1 t 1 2 3 4 ----- pulso rápido  TF tende a ficar constante análogo a ruído branco ___ pulso longo  TF dominada na baixa frequencia análogo a ruído vermelho Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

Remoção da tendencia linear Exemplo: Manchas solares Remoção da tendencia linear Periodograma em frequencia (ciclos / ano) ou inversamente em (anos/ciclo) Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

Periodograma, em (cpa = ciclos / ano) , Inglaterra Temperatura média mensal (1 cpa = 1 ano) (c) Temperatura média anual, Inglaterra (0,05 cpa = 20 anos ; 0,18 = 6 anos ...) Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

Pico em 10-4 h-1 = ciclo anual Pico em 0.008 h-1 = 5 dias Espectro de uma série da pressão atmosférica média horária (Denver, EUA) Pico em 10-4 h-1 = ciclo anual Pico em 0.008 h-1 = 5 dias Picos em 24/n horas, para n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, e 12 (ciclo diurno, que não tem uma representação senóide exata, mas sim composta por vários harmonicos do fundamental de 24h) Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

Espectro série de temperatura do ar média horária (Denver, EUA) Pico em 10-4 h-1 = ciclo anual Ciclo diurno (similar ao da pressão atmosférica) Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

Espectro da energia cinética obtido na camada superficial e na atmosfera livre, com radiossondas nos EUA e ex-URSS. (análogo à Fig. 2.4 de Peixoto e Oort) Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

Dados meteorológicos de alta frequencia (por ex Dados meteorológicos de alta frequencia (por ex. taxa de amostragem 5 Hz) Várias representações do espectro de energia, de dados de velocidade do vento. Fonte: Stull 1994 (Introduction to Boundary Layer Meteorology) Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

Espectros com ruídos (vermelho, branco, azul) Fonte: Stull 1994 (Introduction to Boundary Layer Meteorology) Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

Teorema de amostragem (ou de Nyquist-Shannon) Um sinal contínuo no tempo, cuja mais elevada frequencia natural de oscilação é fmax (uma de suas propriedades), deve ter uma taxa de amostragem (sampling rate) fs tal que fs   ≥  2·fmax (chamada taxa de amostragem de Nyquist) para que o sinal possa ser reconstruído sem aliasing (ou distorção do espectro). Isto determina na reconstrução do espectro (sistema discreto no tempo), a frequencia de folding, ou frequencia de cut-off, igual a fmax, chamada de frequencia de Nyquist. Aliasing (“imagem” ou “sombra”) provoca o rebatimento da energia das frequências acima da frequência de Nyquist, para a região de frequencias mais baixas, distorcendo o espectro (hachurado em azul).

Função de autocorrelação e espectro Def: Função de autocorrelação r(t) (correlograma) Climatologia II - ACA226 (Iag/USP) Sem memória (processo puramente aleatório) dos processos estocásticos

Padrões de correlogramas Efeitos de - Memória Tendência linear (baixa frequencia) periodicidade Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

Relação entre espectro e autocovariância Seja o espectro de potência de uma série contínua igual a (m), ou para uma série discreta, igual a C(m), definido como:

Notas adicionais A análise de Fourier trabalha com séries estacionárias, cujas frequências (harmônicos) são constantes no tempo, e dependem do número de eventos (máximo = N/2) portanto fixas (espaçadas de 1/T). A técnica de Wavelet, chamada de “ondeletas” ou “ondaletas” de Morlet, representa em muitos casos uma alternativa dessa simplificação, ao abordar quais frequências dominam ao longo do tempo, e com melhor resolução.

Notas adicionais 2. A transformada discreta de Fourier computacionalmente é um algoritmo que demanda um elevado número de operações matemáticas, sendo pouco eficiente para amostras com muito eventos (N alto). Na prática, nos softwares estatísticos que calculam o espectro de energia e/ou espectro de potência, utiliza-se o algoritmo da Fast Fourier Transform (FFT) ou Transformada Rápida de Fourier, desenvolvido por 2 pesquisadores da IBM em 1965 (Cooley & Tukey), que foi baseado em principios descritos por Gauss (1805). 38

Janelas de suavização do espectro