Grafos Anjolina Grisi de Oliveira 2007 obs: muitos slides foram cedidos por Adolfo Almeida Duran (UFBA) 2007

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Conectividade Caminho em um grafo não orientado Um caminho de tamanho n de u para v, onde n é um inteiro positivo, em um grafo não orientado é uma seqüência de arestas e1,...,en do grafo de forma que f(e1) = {x0,x1}, f(e2) = {x1,x2}...f(en)={xn-1,xn}, onde x0=u e xn=v. G1 Se o grafo é simples, denotamos o caminho por sua seqüência de vértices: x0, x1 ,...xn Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Conectividade Caminho em um multigrafo direcionado Um caminho de tamanho n de u para v, onde n é um inteiro positivo, em um multigrafo direcionado é uma seqüência de arestas e1,...,en do grafo de forma que f(e1) =(x0,x1), f(e2) = (x1,x2)...f(en)=(xn-1,xn), onde x0=u e xn=v. Quando não existem arestas múltiplas, o caminho pode se denotado por um seqüência de vértices: (x2, x5, x4, x1) Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Conectividade Circuito ou ciclo Um caminho é um circuito se ele começa e termina no mesmo vértice. G1 Circuito: x1,x2,x5,x4,x1 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Exemplos de ciclos 1 2 1 2 3 4 3 4 Ciclo de tamanho 3 1  2  4  1 Ciclo de tamanho 3 1  2  3  1 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Ciclo (ou circuito) A seqüência de vértices (x1, x2, x5, x4, x1) é um exemplo de ciclo Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Caminho (ou circuito) simples Um caminho ou circuito é chamado de simples se ele não contem a mesma aresta mais de uma vez. Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Conectividade Definição para grafos não orientados Um grafo não orientado é chamado de conexo (ou conectado) se existe um caminho entre cada par de vértices distintos do grafo. G1 Em uma rede de computadores, quaisquer dois computadores podem se comunicar se e somente se o grafo da rede é conexo. Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Grafo desconexo O grafo mostrado a seguir não é conexo pois, por exemplo, não existe um caminho entre x3 e x5. Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Componente conexa Um grafo G(V,A) desconexo é formado por pelo menos dois subgrafos conexos, disjuntos em relação aos vértices Cada um destes subgrafos conexos é dito ser uma componente conexa de G. Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Vértice de corte (ou pontos de articulação) Um vértice é dito ser um vértice de corte se sua remoção (juntamente com as arestas a ele conectadas) produz um grafo com mais componentes conexos. (se o grafo original é conexo, ele se torna desconexo). X2 é um vértice de corte Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Ponte Uma aresta é dita ser uma ponte se sua remoção produz um grafo com mais componentes conexos. (X1,X4) é uma ponte Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Grafo fortemente conexo No caso de grafos orientados (digrafos), um grafo é dito ser fortemente conexo se existe um caminho de a para b e de b para a, para cada par a,b de vértices do grafo. ou seja, se cada par de vértices participa de um circuito. Isto significa que cada vértice pode ser alcançável partindo-se de qualquer outro vértice do grafo. Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Grafo fracamente conexo Um grafo direcionado G(V,A) é chamado de fracamente conexo se existe um caminho entre cada par de vértices no grafo não orientado subjacente. Cada um destes subgrafos é fortemente conexo. No entanto, o grafo todo é apenas fracamente conexo. Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Circuito Euleriano Um circuito euleriano em um grafo G é um circuito simples que contem cada aresta de G. Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Teorema (Euler 1736) Um multigrafo conectado G possui um circuito euleriano se e somente se o grau de cada vértice de G é par. Prova: Ida: Seja G um grafo euleriano. Por cada ocorrência de vértice do circuito euleriano, existe uma aresta que chega nesse vértice e outra que sai desse vértice. Como toda aresta faz parte do circuito, isto é, nenhuma aresta fica fora do ciclo, necessariamente o número de arestas por cada vértice é par. Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Volta: Suponhamos que todos os vértices possuem grau par. Seja vi um vértice do grafo. Tentemos, a partir de vi, construir um caminho que não passa duas vezes pela mesma aresta, e até que não seja possível continuar. Como todos os vértices possuem um grau par, sempre será possível entrar e sair de um vértice. A única exceção é o vértice vi onde o caminho vai terminar. Se esse caminho, que chamaremos C1, contém todas as arestas de G, temos um ciclo euleriano. Senão, retiramos de G todas as arestas que fazem parte de C1. No grafo resultante G', todos os vértices também possuem grau par e necessariamente um deles faz parte de C1, senão o grafo não seria conexo. Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Volta (cont.): Recomeçamos o mesmo processo com o grafo G', partindo de um vértice comum com C1, obtendo assim um novo circuito C2. A figura abaixo mostra que dois circuitos que têm um vértice em comum podem formar um circuito único: chegando no vértice comum em um dos dois circuitos, continuamos o percurso no outro circuito. Continuando esse processo, necessariamente obteremos um circuito único que contém todas as arestas de G. Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Algoritmo de Hierholzer Algoritmo para a construção de um ciclo euleriano sugerido a partir da prova do teorema de Euler Comece em qualquer vértice u e percorra aleatoriamente as arestas ainda não visitadas a cada vértice visitado até fechar um ciclo Se sobrarem arestas não visitadas, recomece a partir de um vértice do ciclo já formado Se não existem mais arestas não visitadas, construa o ciclo euleriano a partir dos ciclos formados, unindo-os a partir de um vértice comum Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Algoritmo de Hierholzer Algoritmo para a construção de um ciclo euleriano sugerido a partir da prova do teorema de Euler Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE As pontes de Königsberg É possível sair de uma das ilhas, passar uma única vez por cada uma das pontes e retornar ao ponto de origem ? Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE As pontes de Königsberg Como nem todos os vértices têm grau par, o grafo não é euleriano. Logo, é impossível atravessar todas as pontes uma só vez e voltar ao lugar de partida Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Algoritmo de Fleury Algoritmo para a construção de um ciclo euleriano em um grafo euleriano Comece em qualquer vértice u e percorra as arestas de forma aleatória, seguindo sempre as seguintes regras: I – apague as arestas depois de passar por elas II – se aparecer algum vértice isolado, apague-o também III – passe por uma ponte somente se não houver outra alternativa Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Algoritmo de Fleury Algoritmo para a construção de um ciclo euleriano em um grafo euleriano Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Caminhos, circuitos Hamiltonianos Um caminho (ou circuito) em um grafo G(V,E) é dito ser hamiltoniano se ele passa exatamente uma vez em cada um dos vértices de G Caminho e circuito hamiltoniano Apenas caminho hamiltoniano Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Mais exemplos Circuito e caminho caminho não hamiltoniano Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Grafo hamiltoniano Não existe uma caracterização para identificar grafos hamiltonianos como existe para os eulerianos A busca de tal caracterização é um dos maiores problemas ainda não solucionados da teoria dos grafos Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Grafo hamiltoniano Muito pouco é conhecido dos grafos hamiltonianos A maioria dos teoremas existentes são da forma: “Se G possui arestas suficientes, então G é hamiltoniano” Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Circuito hamiltoniano em grafos completos Todo grafo completo, que contém mais de 2 vértices contem um circuito hamiltoniano Seja v1,v2,...,vn os vértices de G. Como existe uma aresta entre qualquer par de vértices, é possivel, a partir de v1 percorrer essa sequência até vn e voltar para v1 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Teorema (Dirac 1952) Uma condição suficiente, mas não necessária, para que um grafo conexo simples G com n (>2) vértices tenha um circuito hamiltoniano é que o grau de todo vértice de g seja  n/2 O grafo abaixo, possui um circuito hamiltoniano mas não respeita a condição do teorema de Dirac Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Teorema (Ore 1960) Uma condição suficiente, mas não necessária, para que um grafo simples G com n (>2) vértices tenha um circuito hamiltoniano é que a soma dos graus de cada par de vértices não adjacentes seja no mínimo n. Permite identificar mais grafos com circuitos hamiltonianos que o anterior, mas demora muito para efetuar os cálculos. Uma busca por tentativa e erro pode ser mais eficiente em alguns casos Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE O adjetivo "hamiltoniano" deve-se ao matemático irlandês Sir William Rowan Hamilton (1805-1865). Diz-se que ele inventou um jogo que envolve um dodecaedro (sólido regular com 20 vértices, 30 arestas e 12 faces). Hamilton rotulou cada vértice do dodecaedro com o nome de uma cidade conhecida. O objetivo do jogo era que o jogador viajasse "ao redor do mundo" ao determinar uma viagem circular que incluísse todas as cidades exatamente uma vez, com a restrição de que só fosse possível viajar de uma cidade a outra se existisse uma aresta entre os vértices correspondentes. Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE A figura abaixo mostra um grafo que representa este problema, ou seja os vértices e arestas de um dodecaedro. Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Alguns Problemas Como explorar um grafo Como obter um processo sistemático para caminhar pelos vértices e arestas de um grafo? Como caminhar no grafo de modo a visitar todos os vértices e arestas evitando repetições desnecessárias de visitas a um mesmo vértice ou aresta? Que recursos adicionais são necessários? Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Como explorar um grafo Necessidade de ‘’marcar’’ quando um vértice e uma aresta já foram visitados ou não Algoritmo Geral Busca Geral G(V,E) 1. Escolher e marcar um vértice inicial; 2. Enquanto existir algum vértice v marcado e incidente a uma aresta (v,w), não explorada, efetuar:     a) escolher o vértice v;     b) explorar a aresta (v,w). Se w não é marcado então marcar w. Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE O problema do Caminho mais curto Um motorista deseja encontrar o caminho, mais curto possível, entre duas cidades do Brasil Caso ele receba um mapa das estradas de rodagem do Brasil, no qual a distância entre cada par adjacente de cidades está exposta, como poderíamos determinar uma rota mais curta entre as cidades desejadas? Uma maneira possível é enumerar todas as rotas possíveis que levam de uma cidade à outra, e então selecionar a menor. Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE O problema do menor caminho consiste em determinar um menor caminho entre um vértice de origem s  V e todos os vértices v de V. ¨      Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE O problema do Caminho mais curto Uma maneira mais eficiente: Percorra o grafo, partindo do vértice de origem s, associando a cada vértice um número l(v) indicando a menor distância entre s e v. Isso significa que quando chegamos ao vértice v, na figura abaixo, l(v) será min ( l(u)+6 , l(x)+4 ) 6 5 u 3 s 2 7 v x y 4 1 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Grafos com pesos: - Cada aresta possui um número associado (peso) - O tamanho do caminho é a soma dos pesos das arestas do caminho 6 5 u 3 s 2 7 v x y 4 1 11 9 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Como obter um caminho mínimo partindo de s para y? u v 6 3 9 3 s 4 2 1 2 7 3 5 11 5 6 x y Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Outra possibilidade: u v 6 3 9 3 s 4 2 1 2 7 3 5 11 5 6 x y Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE O algoritmo de Dijkstra O algoritmo de Dijkstra aqui descrito identifica o menor caminho entre dois vértices de um grafo não orientado. Se desejamos calcular o menor caminho de a para z em um grafo conexo simples com pesos, primeiro encontramos um menor caminho entre a e um primeiro vértice, depois entre a e um segundo vértice, esse procedimento é repetido até que seja encontrado um menor caminho entre a e z. Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE O algoritmo de Dijkstra Um conjunto S de vértices é construído inserindo-se um vértice a cada iteração. A cada iteração também é adotado um procedimento para rotular vértices: um vértice w é rotulado com o tamanho do menor caminho de a até ele, e que contem somente vértices do conjunto S. O vértice a ser inserido em S é aquele com o menor rótulo. Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE O algoritmo de Dijkstra O algoritmo começa rotulando a com 0 e os demais vértices com . Usamos a notação L0(a)=0 e L0(v)= . (na iteração 0). A notação Sk é usada para denotar o conjunto S após a iteração k. Começamos com S0=. O conjunto Sk é formado a partir de Sk-1 adicionado-se um vértice u que não está em Sk-1 e possui o menor rótulo. Após a inclusão de u em Sk, atualizamos os rótulos de todos os vértices que não estão nesse conjunto da seguinte maneira: Lk(v) é o tamanho do menor caminho de a até v que contem apenas os vértices de Sk. . Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE O algoritmo de Dijkstra Seja v um vértice que não está em Sk. Para atualizar o rótulo de v, observe que Lk(v) é o tamanho do menor caminho de a para v e que contém apenas os vértices que estão em Sk.. Esse caminho ou é o menor caminho que contem apenas os elementos de Sk-1 (sem a inclusão de u) ou é o menor caminho de a até u no passo k-1 com adição da aresta (u,v). Lk(v) =   min(Lk-1(v),Lk-1(u)+ peso(u,v)) Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE O algoritmo de Dijkstra procedimento Dijkstra Para i := 1 até n: L(v)= . L(a) = 0 S= Enquanto z S u :=   Elemento que S e L(u) é mínimo S :=   S  {u} Para cada vértice v  S : Se L(u) + peso(u,v) < L(v) então L(v) = L(u) + peso(u,v) (observe que L(v) =   min(L(v),L(u)+ peso[u,v]) Retornar L(z) Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE

Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE Exemplo: Menor caminho de A até D 0: L(A)=0 e todos os outro é ; S=; 1: S={A}; L(B)=4; L(F)=2; 2: S={A,F}; L(B)=3; L(C)=10; L(E)=12; 3: S={A,F,B}; L(C)=8; 4: S={A,F,B,C}; L(D)=14; L(E)=10; 5: S={A,F,B,C,E}; L(D)=13; 6: S={A,F,B,C,E,D} B C 5 4 6 A 1 8 2 D 2 3 10 F E Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE