Sistemas de Controle III N8SC3 Prof. Dr. Cesar da Costa 11.a Aula: Controle por Realimentação de Estados

Controlabilidade O estado x(tf) de uma planta linear é dito controlável a partir de um estado inical x(t0), se existe uma trajetória no espaço de estados, que possa ser percorrida pelo sistema de malha fechada, que conduza o sistema desde o estado x(t0) até o estado x(tf) em um tempo finito tf-t0. Se todos os estados do sistema forem controláveis a planta é dita completamente controlável.

Diagrama de blocos geral Realimentação do estado, através de ganhos K e por conveniência um ganho Kp no ramo de malha aberta.

Modelo do Sistema de Malha Fechada Substituindo a realimentação na planta.

Modelo do Sistema Malha Fechada Definindo as novas matrizes Obtém-se o seguinte modelo de estado em malha fechada

Matriz de Controlabilidade Teorema: A planta de ordem n descrita pela equação de estado É dita controlável por estado se e só se o determinante da matriz de controlabilidade for nulo.  

Alocação de Polos O problema da alocação de polos é determinar inicialmente se o sistema é controlável e, se confirmado, descobrir a partir das especificações qual a posição desejada para os polos. Em seguida calcular o vetor de ganhos que permite que o sistema de malha fechada apresente os polos na posição desejada.

Característica do método O método na forma como foi apresentado tem as seguintes características: Posiciona os polos arbitrariamente se a planta for controlável; Não controla os zeros do numerador de malha fechada; Não controla o erro estacionário.

Considerando apenas o vetor de realimentação K Considere a representação de estados: Onde a matriz A contem os autovalores e consequentemente os polos do sistema.

Vamos assumir, que: Se r = 0 temos um regulador:

Objetivo: Escolher K tal que AMF tenha as propriedades desejadas. Exemplo 1: Considere o seguinte sistema linear em espaco de estados Determinar a realimentação de estados tal que os polos sejam posicionados em (- 5; - 6).

Solução: 1. Calculo do polinômio caracterstico Note que o sistema e instavel.

Cujo polinômio caracterstico é dado por: A posição desejada dos polos é - 5 e – 6. Que resulta em:

Exemplo 2: Considere o seguinte sistema Vericar se e possível alocar todos os autovalores da matriz A.

Cujo polinômio caracterstico é: Repare que o polo (s - 2) não pode ser mudado. Por quê? A resposta esta na Matriz de Controlabilidade. O posto(Qc ) = 1 < 2. Não Controlável.

Formula de Ackermann Pode-se generalizar para qualquer modelo de estado, atraves da fórmula de Ackermann. Dada uma equação característica desejada Encontra-se o vetor de estado como: Onde Qc (matriz de contrabilidade) deve possuir inversa e é a equação caracterstica.

Exemplo 1 (Anterior) Logo:

Formula de Ackermann no MATLAB

Alocação de pólos Se a planta é controlável existe solução para a alocação de polos. Para a lei de controle Tem-se o novo modelo para a malha fechada Kp=1

Para a planta cuja Função de Transferência é Exercício Para a planta cuja Função de Transferência é   Deseja-se que o sistema em malha fechada tenha pólos utilizando a realimentação das variáveis de estado. Determinar o vetor de ganhos respectivos.  

Solução usando MATLAB:

Considere um sistema regulador. A planta é dada por Exercício (Lista) Considere um sistema regulador. A planta é dada por   Onde:   O sistema usa o controle de realimentação de estado:   Deseja-se que o sistema em malha fechada tenha pólos alocados em:   Determine a matriz K e faça o diagrama em bloco do sistema.