Razões e Proporções Razão, Proporção, Grandezas Direta e Inversamente Proporcionais e Regras de três Simples e Compostas.

Razão Sendo a e b dois números racionais, com b≠0, denomina-se razão entre a e b ou razão de a para b o quociente 𝒂 𝒃 ou a : b. A razão 𝒂 𝒃 ou a : b pode ser lida de uma das seguintes maneiras: Razão de a para b ou a está para b ou a para b

Nomes Especiais Os termos de uma razão, na forma fracionária ou como uma divisão, recebem nomes especiais: o primeiro número denomina-se antecedente e o segundo número , consequente. 𝒂 𝒃 𝑎 é o antecedente 𝑏 é o consequente ou a:b da mesma forma

Exemplos Danielzinho, jogador do time de Basquete do Flamengo, de 15 arremessos à cesta acertou 12. Qual a razão entre o número de acertos e o número total à cesta feitos por Danielzinho? Solução: Na verdade faremos uma comparação entre o número de acertos e o número total de arremessos. Ou seja, a razão 12 : 15 = 12 15 = 4 5

Exemplos Ou seja, para cada 5 arremessos à cesta, Danielzinho acertou 4. Considerando que 4 5 = 80 100 =80%, dizemos que Danielzinho acertou 80% dos arremessos.

Exemplos 2) Qual é a razão entre a área da região retangular 1 e a área da região retangular 2 1 2 40cm 1m 60cm 1,2m 𝐴 1 =60x40=2400 𝑐𝑚 2 𝐴 2 =120x100=12000 𝑐𝑚 2

Exemplos Logo, a razão 𝐴 1 𝐴 2 = 2400 12000 = 1 5 . Ou seja, a área do retângulo 2 é 5 vezes a área do retângulo 1. OBS: A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que exprimem as suas medidas, sempre tomadas na mesma unidade.

Razões Especiais Velocidade Média = Distância percorrida Tempo gasto Escala = Comprimento no Desenho Comprimento Real Densidade de um Corpo = Massa do Corpo Volume do Corpo Densidade Demográfica = Número de Habitantes Área da região ocupada

Exemplos Velocidade Média Um trem percorreu a a distância de 453Km em 6 horas. Qual foi a velocidade média do trem nesse percurso? 𝑉 𝑚 = Distância Tempo = 453Km 6h =75,5Km/h

Exemplos Escala Em um mapa, a distância entre duas cidades é de 3cm. Sabendo-se que a distância real entre as cidades é de 30Km, qual a escala utilizada no mapa? Escala = comprimento no desenho comprimento real = 3 3 000 000 = 1 1 000 000 ou 1 : 1 000 000. Ou seja, 1cm no desenho corresponde a 1 000 000 cm no real, ou a 10Km.

Exemplos Escala Ao desenhar a sua sala de aula, Paula traçou um segmento de 6cm, que correspondia ao comprimento da sala. Sabendo-se que a escala utilizada foi de 1:125, qual o comprimento real dessa sala? Solução: 1 125 = 6 𝑥 ⇒𝑥=125.6=750𝑐𝑚 𝑜𝑢 7,50𝑚

Exemplos Densidade de um corpo Uma escultura em bronze tem 3,5Kg de massa e volume de 400 𝑐𝑚 3 . Qual é a densidade dessa escultura de bronze? Densidade = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 = 3,5𝐾𝑔 400 𝑐𝑚 3 = 3500𝑔 400 𝑐𝑚 3 =8,75g/ 𝑐𝑚 3

Exemplos Densidade Demográfica Tocantins é um Estado que possui 1 300 000 habitantes que ocupam uma área de 280 000 𝐾𝑚 2 Qual a sua densidade demográfica? Solução: Densidade demográfica = 1 300 000ℎ𝑎𝑏 280 000 𝐾𝑚 2 ≅4,6ℎ𝑎𝑏/ 𝐾𝑚 2

Proporção Proporção é uma igualdade entre duas razões Exemplo: 1 1000 = 50 50 000 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 3 15 = 9 𝑥

Definição 𝒂:𝒃=𝒄:𝒅 ou 𝒂 𝒃 = 𝒄 𝒅 Quatro números racionais a, b, c e d, diferentes de zero, tomados nessa ordem, formam uma progressão quando: 𝒂:𝒃=𝒄:𝒅 ou 𝒂 𝒃 = 𝒄 𝒅 Lê-se: a está para b, assim como c está para d. OBS: Chamaremos a e d de extremos e b e c de meios da proporção.

Exemplo Os números 6, 9, 12 e 18, nessa ordem formam uma progressão, pois: 6 9 = 12 18 Note que 6 9 = 2 3 e que 12 18 = 2 3 Os extremos da proporção são 6 e 18 e os meios 9 e 12

Propriedade Fundamental das Proporções Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios e vice-versa. Ou seja, dada a proporção a: b = c: d ou 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 então podemos escrever que: a . d = b . c

Propriedade Fundamental das Proporções Considerando a proporção 6 9 = 12 18 , vemos que: 6 x 18 = 108 e que 9 x 12 = 108. Ou seja, 6 x 18 = 9 x 12

Exercícios Usando a propriedade fundamental das proporções, verificar se os números 3, 7, 12 e 28 formam, nessa ordem, uma proporção. Solução: Produto dos extremos: 3 x 28 = 84 Produto dos meios: 7 x 12 = 84 Logo, formam uma proporção.

Exercícios 2) Sabendo que os números 6, 24, 5 e x formam, nessa ordem, uma proporção, determinar o valor de x. Solução: Podemos escrever que 6 24 = 5 𝑥 e como sabemos 6 x 𝑥=5x24 ⇒6𝑥=120⇒𝑥= 120 6 =20 Logo, x = 20

Exercícios 3) Considerando, nesta ordem, os números a seguir, calcule a quarta proporcional dos números 1,5, 0,8 e 2,4. Solução: Chamaremos de quarta proporcional (x) o último número que forma a proporção: 1,5 0,8 = 2,4 𝑥 Assim, 1,5𝑥= 0,8 x 2,4⇒1,5𝑥=1,92⇒𝑥= 1,92 1,5 Portanto, x = 1,28

Exercícios 4) Usando a propriedade fundamental das proporções, resolver a equação 𝑥+1 𝑥−2 = 1 2 Solução: 2.(x+1) = 1.(x-2) ⇒2x + 2 = x -2 ⇒ x = -4 Logo, a raiz da equação é x = -4

Exercícios 5) Em uma escola, para cada 4 meninas há 5 meninos estudando. Se há 580 meninos matriculados, quantos alunos estudam nessa escola? Solução: Calculando o número de meninas, temos: 4 5 = 𝑥 580 ⇒ 5𝑥=4x580⇒5𝑥=2320⇒𝑥=464 Logo, estudam nessa escola 580 + 464 = 1044 alunos

Exercícios 6) A altura da maquete de um edifício é 80cm. Qual a altura real do prédio, sabendo que a maquete foi construída na escala 1 : 40? Solução: 1 40 = 80 𝑥 ⇒𝑥=40x80=3200cm=32m Logo, a altura real do prédio é 32m