Conteúdo Estruturante: Funções Conteúdo Básico: Progressão Aritmética Recurso: LDP/MAT – Folhas “Corrupção e Política – Quem mexeu no meu bolso?” Nº.

Apresentação em tema: "Conteúdo Estruturante: Funções Conteúdo Básico: Progressão Aritmética Recurso: LDP/MAT – Folhas “Corrupção e Política – Quem mexeu no meu bolso?” Nº."— Transcrição da apresentação:

1 Conteúdo Estruturante: Funções Conteúdo Básico: Progressão Aritmética Recurso: LDP/MAT – Folhas “Corrupção e Política – Quem mexeu no meu bolso?” Nº de aulas previstas: 06

2 JUSTIFICATIVA: Este Folhas busca problematizar uma situação real ocorrida no cenário político de nosso país no ano de 2005 – o escândalo dos mensalões.

3 Chama a atenção do aluno para uma reflexão a respeito do significado de corrupção e suas implicações nos problemas econômicos da sociedade brasileira

4 Assim, o conteúdo de Progressão Aritmética (PA) é desenvolvido dentro de um contexto social e político, justificando a importância deste conhecimento para os alunos.

5 A partir do contexto do Folhas, explorar: - cada salário recebido como termo de uma PA; - comportamento dessa sequência de salários; - suas particularidades;

6 - como calcular qualquer termo da sequência; - como calcular o salário após 15 ou 20 anos de trabalho; - como calcular o montante do período trabalhado.

7 INTERDISCIPLINARIDADE
Disciplina de História: Baseados em fatos históricos ocorridos no cenário político brasileiro, explorar questões que levem o aluno a formular opiniões sobre a situação política atual do país.

8 Disciplina de Sociologia O tema reflete uma prática comum na sociedade brasileira: a corrupção. Para entendermos a dimensão da quantia que é desviada, aborda-se o conhecimento matemático Progressão Aritmética (PA).

9 Portanto, cabe ao professor instigar e conduzir a reflexão e discussão para que o aluno, através de cálculos matemáticos, possa fazer comparações com a atual política salarial.

10 AULA 1 Para as discussões sobre o tema do Folhas, é fundamental promover o debate em sala, resgatando o fato político que entrou para história – o escândalo dos mensalões. O aluno lembra disso? O que ele sabe sobre esse assunto?

11 - quantos estão em busca do seu primeiro emprego?
Ao tratar sobre o tema, primeiro emprego, alguns questionamento favorecem a discussão: - quantos trabalham? - quantos estão em busca do seu primeiro emprego?

12 - quais as dificuldades encontradas
- quais as dificuldades encontradas? - quais são suas perspectivas futuras quanto ao mundo do trabalho? Debate (p. 79)‏

13 Introduzir a situação: “Suponha que um jovem com 18 anos ingressou em seu primeiro emprego e, na entrevista de admissão, seu empregador estabeleceu o seguinte contrato de trabalho:

14 - salário inicial de R$ 400,00 -aumento anual de R$ 100,00
- salário inicial de R$ 400,00 -aumento anual de R$ 100,00.” (LDP/Matemática, 2007, p. 79).

15 Definindo a razão: Pontuar que: - R$ 100,00 é um valor constante; - a essa constante chama-se razão da PA: (r) O salário aumenta à medida que esse valor constante é adicionado ao salário anterior.

16 Definindo os termos: “Observamos que se o aumento de R$ 100,00, formará a seguinte sequëncia com os salários desse jovem: 400, 500, 600, ” (ibid, p.79). Nesta sequência, temos: 1º termo (a1): º termo (a2): º termo (a3):

17 Definindo a Lei de Formação: “2º salário – 1º salário = 500 – 400 = º salário – 2º salário = 600 – 500 = º salário – 3º salaŕio = 700 – 600 = e assim sucessivamente...” (ibid, p.79). .

18 Se do 2º termo (2º salário) subtraírmos o termo anterior (1º salário), teremos sempre o valor constante Isso ocorrerá com todos os termos dessa sequência, de forma sucessiva

19 “ Veja que no caso dos salários, existe um número determinado de anos para o jovem receber, uma vez que sabemos que um ser humano não vive eternamente.

20 Nesse caso trata-se de uma sequência que possui um certo número de termos que evidentemente não poderá ser nulo, pois ele receberá, no mínimo, um salário; e que também não poderá ser negativo pelo mesmo motivo. Matematicamente dizemos que os termos dessa sequência pertence ao N*...” (Ibid, p. 80).

21 Trazer: - a definição de PA (p. 80);. - atividade (p. 81, item a e b)
Trazer: - a definição de PA (p. 80); - atividade (p. 81, item a e b). No item a, a finalidade é fazer com que o aluno entenda e pratique a elaboração da lei de formação de um PA; já no item b, objetiva-se que ele calcule a razão de uma PA.

22 AULA 2 Esta aula pode ser dedicada à solução de atividades de outros livros didáticos, para que o aluno possa aplicar o algoritmo do cálculo da razão em outros contextos.

23 AULA 3 Construção do modelo para o cálculo dos termos da PA: Já sabe-se que: - a1, a2, a3 são os termos da PA (os salários); - r é a razão da PA (valor fixo igual 100)

24 Então: a2 = a1 + r a3 = a2 + r a4 = a3 + r . . .

25 Qual seria, então, por exemplo, a60?

26 Pelo que vimos, a60 = a59 + r. Mas qual é o a59
Pelo que vimos, a60 = a59 + r. Mas qual é o a59? A matemática possibilita outro caminho (mais curto) para resolver esse problema, sem que se tenha que calcular todos os termos.

27 Pode-se introduzir uma nova estratégia matemática: a2 = a1 + r (I) a3 = a2 + r (II)

28 Substituindo (I) em (II), temos: a3 = a1 + r + r ou a3 = a1 + 2r

29 Análogamente: a4 = a1 + 3r a5 = a1 + 4r ... a60 = a1 + 59r

30 Neste momento, é importante salientar que define-se cada termo da PA, em função do a1 e de r, pois estes são valores conhecidos.

31 “Desse modo poderíamos descobrir qualquer termo da sequência, ou seja, um enésimo termo an. Assim: an = a1 + (n-1).r” (ibid, p.81)

32 Atividade 1 – pág. 81 – item c e d No item c e d desta atividade, a finalidade é fazer com que o estudante calcule um termo qualquer de uma PA através de um modelo matemático (para isto, solicita-se que calcule o salário do jovem aos 30 e aos 48 anos de idade.

33 Note que, dos 18 anos até os 30 teremos uma sequência de 13 termos, pois estamos incluindo o salário inicial (18 anos = 400 reais), então temos que calcular:

34 c) a13, onde: a1 = 400 r = 100 n = 13 an = a1 + (n-1). r an= 400 + 12
c) a13, onde: a1 = 400 r = 100 n = 13 an = a1 + (n-1).r an= an= reais

35 Utiliza-se procedimento análogo para o cálculo de a48.
Assim, a48 = 3400 reais.

36 d) Verifica-se que a sequencia inicia-se em 400, quando o jovem tinha 18 anos e vai até a idade de 60 anos. Temos, assim, uma PA de 43 termos. Logo queremos calcular o último termo a43.

37 Assim, a43 = a43=4600 reais.

38 Verifique que, ao trabalhar durante 43 anos, foi possível alcançar um salário de 4600 reias – um valor bastante inferior à mesadas de 30 mil reais, que supostamente, alguns parlamentares recebiam mensalmente

39 AULA 4 Esta aula pode ser dedicada a solução de atividades de outros livros didáticos para que o aluno possa aplicar o algoritmo do cálculo de PA, através do modelo estabelecido, em outros contextos.

40 Introduzir a Soma dos termos de uma PA, através da situação:
AULA 5 Introduzir a Soma dos termos de uma PA, através da situação:

41 “Para que tenhamos uma noção ainda mais ampla entre a dificuldade de um trabalhador comum em adquirir dinheiro e a facilidade de um receptor de de mensalões, vamos somar todos os salários desse jovem, desde seu primeiro mês neste emprego até sua aposentadoria, mostrando a quantia que ele ganhará, durante todos estes anos de trabalho” (ibid, p.82)‏

42 Ao introduzir esta situação, é importante que o professor estimule os alunos a refletir sobre a desmoralização política em relação ao mal uso do dinheiro público, pois o pagamento de impostos “deveriam” destinar-se à ações públicas (sáude, educação, etc.).

43 "Será que depois de tantos anos de trabalho essa quantia ultrapassará ou não a mesada de 30 mil reais dos palamentares?" (Ibid, p. 82).

44 Para realizar este cálculo deve-se multiplicar cada salário mensal por Assim tem-se a sequência: 4800, 6000, , último aumento x 12.

45 Onde: a1 = 4800 a2 = 6000 a3 = 8400 . . . an = último aumento x 12

46 Neste momento da abordagem, é importante salientar que será necessário descobrir qual é o último termo (último aumento x 12) e que, ingressou no emprego aos 18 anos e se aposentou aos 60, tem-se 42 parcelas, as quais devem ser calculadas e depois somadas.

47 Estes cálculos demandam muito trabalho e tempo, além de estarem mais sujeitos à possíveis erros.

48 Evidenciar que a Matemática pode, através de modelos estabelecidos, facilitar esses cálculos, que demandariam tempo e seria trabalhoso. Assim, para a soma de todos os termos, tem-se:

49 (I) Sn = a1 + a2 +. an (ordem crescente) ou (II) Sn = an +
(I) Sn = a1 + a2 +...an (ordem crescente) ou (II) Sn = an a2 + a1 (ordem decrescente)

50 Ao somarmos os termos de (I) e (II), teremos: 2Sn = (a1+an)+(a2 + an-1) +...+ (an+an-1)+(an + a1)

51 Entendendo melhor: Observe a sequência em ordem crescente: Sn = Agora, observe a mesma sequência em ordem decrescente: Sn =

52 Somando os termos das duas sequências: 2S =(1+100)+(2+99)+
Somando os termos das duas sequências: 2S =(1+100)+(2+99)+ ...+(98+3)+(99+2)+(100+1) Verificamos que cada termo resulta num mesmo valor, ou seja, 101.

53 Assim, podemos fazer: 2S100 = (1+100). 100 S100 = (1 +100)
Assim, podemos fazer: 2S100 = (1+100).100 S100 = (1 +100).n/2 S100 = 5050

54 Nesse processo, observamos que: a1= 1 an = 100 n = 100 Assim, podemos generalizar: ou seja, Sn = (a1 + an). n

55 Os conceitos matemáticos são frutos de uma contrução humana, ocorrida no percurso histórico. O matemático Gauss ( ) foi quem introduziu esse modelo para o calculo de sequências numericas em PA, utilizando o racicínio que acabamos de descrever.

56 Vejamos como isso aconteceu: “Um dia, para ocupar a classe, o professor mandou que os alunos somassem todos os números de um a cem, com instruções para que cada um colocasse sua sobre a mesa logo que completasse a tarefa.

57 Quase imediatamente, Gauss colocou sua ardósia a mesa dizendo. "Aí está!" O professor olhou-o com desdém enquanto os outros trabalhavam; diligentemente. Quando o instrutor finalmente olhou os resultados, a ardósia de Gauss era com a resposta correta, 5050, sem outro cálculo.

58 O menino de dez anos evidentemente calculara mentalmente a soma da progressão aritmética ” (BOYER 2002, p )‏

59 Atividade 2 (p. 83) Nesta atividade, o aluno praticará cálculos envolvendo a soma dos termos de uma PA. Sabendo que:

60 a1 = 400 x 12 = a2 = 500 x = r = – = a43 = x 12 = n = 43

61 Sn = (a1 + an). n Sn = ( ) Sn =

62 a) Neste item, propõe-se comparar quanto tempo leva um receptor de mensalão, que ganha 30 mil reais por mês, em relação ao jovem que trabalhará dos 18 aos 60 anos para se aposentar.

63 Como vimos, este valor é de 1 290 000 reais
Como vimos, este valor é de reais. Fazendo : = 43, ou seja, pouco mais de 3 anos e meio.

64 salário inicial de 400 reais
b) Deve-se calcular qual será o número de termos (n) dessa sequencia para que an = reais, nas mesmas condições: salário inicial de 400 reais aumento anual de 100 reais

65 an = a1 + (n -1).r = (n –1) = n – n = n = : 100 = 296

66 É possível verificar que o jovem deveria trabalhar 296 anos para que seu último salário fosse de reais, o que é impossível!

67 c) Neste item a incógnita é a razão r, quando:
an = reais a1 = 400 reais n = 42

68 Logo, an = a1 + (n-1).r 30 000 = 400 + 42r 42r = 29.600 r = 704,76 (aproximadamente)‏

69 O objetivo deste item é conjeturar sobre a possibilidade de alguém aumentar seu salário em mais de 700 reais de um ano para o outro.

70 Veja que o aumento anual é superior ao valor do sálario mínimo (pouco mais de 450 reais) É comum isso acontecer entre os assalariados brasileiros?

71 d) A incógnita é o primeiro termo a1, quando
an= reais, r = 100 n= 15

72 Logo, an = a1 + (n-1).r 30 000 = a1 + 14.100 a1 = 30 000 : 1400 a1 = 21 429 reais (aproximadamente)‏

73 É comum encontrarmos entre os trabalhadores brasileiros, receber um salário inicial correspondente a essa quantia?

74 Sugere-se que esta atividade seja realizada em grupos.
AULA 6 Atividade 3 (p. 84)‏ Sugere-se que esta atividade seja realizada em grupos. Após definida a aplicabilidade (em hospitais, escolas, etc.), estabelecer:

75 - qual será a quantia inicial atribuída à instituição escolhida, isto é , definir o a1 da PA. - definir de quanto será o aumento em cada distribuição, ou seja, definir a razão r da PA.

76 - Definir se o valor repassado a instituição ocorrerá quinzenalmente, mensalmente, semestral mente, etc, estabelecendo o número de termos n PA.

77 - definir qual será o valor da última aplicação, isto é, o an da PA, o que não pode ser feito aleatoriamente, uma vez que existe um montante definido.

78 AVALIAÇÃO O professor poderá avaliar a participação dos alunos:
- em debates sobre o tema; - na realização das atividade propostas;

79 - se adquiriu conhecimento suficiente para a resolução de problemas noutros contextos. Outra sugestão é solicitar que os alunos apresentem os resultados da atividade 3 para a turma