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Cálculo Numérico / Métodos Numéricos
Sistemas lineares Minimos Quadrados - Introdução 6 May :03
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Ceres e os mínimos quadrados
12 Jun :31 Ceres e os mínimos quadrados Ceres é o menor planeta anão identificado no sistema solar. Foi descoberto por Giuseppe Piazzi, em Piazzi seguiu sua órbita por 40 dias, até perdê-la, devido ao brilho do sol. Como encontrá-lo quando ele ficasse visível outra vez?
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Como "reencontrar" Ceres
12 Jun :31 Como "reencontrar" Ceres Resolvendo as equações não-lineares de Kepler, para as órbitas dos planetas. Entretanto, o planeta só foi reencontrado devido às predições de Gauss, então com 24 anos.
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O método de Gauss Havia uma série de pontos Gauss estimou uma função:
12 Jun :31 O método de Gauss Havia uma série de pontos dados pelas observações temporais de Piazzi Gauss estimou uma função: posição = f(t) A partir destes dados, de modo que, para os pontos conhecidos, o erro fosse "o menor possível".
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12 Jun :31 Idéia posição erro tempo
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Método dos mínimos quadrados
12 Jun :31 Método dos mínimos quadrados Objetivo: Aproximar uma função y= f(x) por uma combinação linear de funções conhecidas: de tal modo que a distância de f(x) a F(x) seja a menor possível. precisamos definir uma noção de distância entre duas funções
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12 Jun :31 Quando usar ? A aproximação torna-se especialmente interessante quando: a) f(x) é definida através de processos não finitos, como integrais, soma de séries... b) f(x) é conhecida apenas através de pares de pontos (obtidos, por exemplo, através de experimentos)
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Distância entre vetores
12 Jun :31 Distância entre vetores Definição: Seja E um espaço euclidiano. Dados os vetores x e y 2 E, definimos a distância entre dois vetores - d(x,y) - como o comprimento do vetor (x,y): Queremos obter a mínima distância entre a função real f(x) e a função aproximada F(x). Poderíamos usar:
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Medida nem tão boa assim:
12 Jun :31 Medida nem tão boa assim: r2 r1 Problemático trabalhar com módulos (não diferenciável) Sem módulo: Erros positivos anulam os erros negativos. Erro total zero, quando vemos que r1 é bem diferente de r2
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Solução Usamos: Daí o nome de método dos mínimos quadrados
12 Jun :31 Solução Usamos: Daí o nome de método dos mínimos quadrados
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