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Álgebra Linear e Geometria Analítica
8ª aula
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Valores Próprios e Vectores Próprios
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Definição: Seja um número real e A uma matriz quadrada nn. Diz-se que é um valor próprio da matriz A se existir uma matriz coluna não nula Xn1 tal que A X = X À matriz coluna X chama-se vector próprio associado ao valor próprio .
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Exemplo: 3 é valor próprio Um vector próprio associado é
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Como determinar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz?
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Como determinar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz?
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Como determinar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz?
Este sistema homogéneo tem que ser indeterminado pois queremos X0
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Definições: (A - I) – matriz característica de A det (A - I) – polinómio característico de A det (A - I) = 0 – equação característica de A
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Como determinar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz?
Este sistema homogéneo tem que ser indeterminado pois queremos X0 então det (A - I) = 0
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Como determinar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz?
det (A - I) = 0 então Os valores próprios são as raízes do polinómio característico.
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Os valores próprios de são as raízes de é a única raiz deste polinómio: tem multiplicidade 2
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Os valores próprios de são as raízes de é a única raiz deste polinómio: tem multiplicidade 2 Diz-se que é valor próprio com multiplicidade algébrica 2
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Como encontrar o vector próprio associado?
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Como encontrar o vector próprio associado?
Deve ser tal que – a + b = 0
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O conjunto de todos os vectores próprios associados ao mesmo valor próprio é um subespaço vectorial que se designa por subespaço próprio associado a e se representa por E
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No exemplo: Tem um valor próprio = 3
Os valores próprios associados têm que ser da forma com – a + b = 0
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No exemplo:
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Definição: Chama-se multiplicidade geométrica de um valor próprio à dimensão do subespaço próprio associado
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multiplicidade geométrica
Teorema: A multiplicidade algébrica de um valor próprio é maior ou igual à sua multiplicidade geométrica
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= 6 é valor próprio de A com multiplicidade algébrica 1
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Determinação dos subespaços próprios:
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Determinação dos subespaços próprios:
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É uma base de 3
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Valores próprios e invertibilidade:
Seja A uma matriz que tem o valor próprio = 0 então: det(A – 0 I) = 0 det(A) = 0 Conclusão: a matriz não é invertível.
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Valores próprios e invertibilidade:
Seja A uma matriz que tem o valor próprio = 0 então: det(A – 0 I) = 0 det(A) = 0 Conclusão: a matriz não é invertível. TEOREMA: Uma matriz é invertível se e só se não tem o valor próprio 0.
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Diagonalização de matrizes
Definição: Uma matriz A diz-se semelhante a uma matriz B se existir uma matriz invertível P tal que B = P-1 A P. Se A é semelhante a B então B é semelhante a A. PBP-1 = PP-1 A PP-1 PBP-1 = A Definição: Uma matriz A diz-se diagonalizável se for semelhante a uma matriz diagonal, isto é se houver uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que: D = P-1 A P
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Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios
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Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios
det(B - I) = det(P-1 A P - I)
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Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios
det(B - I) = det(P-1 A P - I) = det(P-1 A P - P-1 P ) =
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Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios
det(B - I) = det(P-1 A P - I) = det(P-1 A P - P-1 I P ) = det(P-1 (A - I ) P ) =
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Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios
det(B - I) = det(P-1 A P - I) = det(P-1 A P - P-1 P ) = det(P-1 (A - I) P ) = det(P-1) det (A - I) det(P)
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Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios
det(B - I) = det(P-1 A P - I) = det(P-1 A P - P-1 P ) = det(P-1 (A - I) P ) = det(P-1) det (A - I) det(P) = det(P-1) det(P) det (A - I)
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Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios
det(B - I) = det(P-1 A P - I) = det(P-1 A P - P-1 P ) = det(P-1 (A - I) P ) = det(P-1) det (A - I) det(P) = det(P-1) det(P) det (A - I) = det (A - I)
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Teorema: A matriz A-1 tem os valores próprios inversos dos valores próprios de A
Seja valor próprio de A. Então: A X = X A-1 A X = A-1 X X = A-1 X Se A é invertível todos os valores próprios são diferentes de 0 X = A-1 X
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Valores próprios de uma matriz diagonal:
Os valores próprios de uma matriz diagonal são os elementos da diagonal. EXEMPLO:
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Teorema: Uma matriz quadrada de ordem n é semelhante a uma matriz diagonal se e só se existir uma matriz invertível P cujas colunas são vectores próprios da matriz D = P-1 A P PD = AP AP = [ AP1 AP APn] AP1 = 1P1 AP2 = 2P APn = nPn
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Teorema: Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, existe uma matriz invertível cujas colunas são vectores próprios de A se e só se a soma das multiplicidades algébricas dos valores próprios de A é n e as multiplicidades algébricas e geométricas coincidem.
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Uma aplicação: Calcular A32 A32 = A A A A A A A 32 vezes
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Uma aplicação: Calcular A32 A32 = A A A A A A A A32 = (P-1 D P) 32 = 32 vezes
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Uma aplicação: Calcular A32 A32 = A A A A A A A A32 = (P-1 D P) 32 = P-1 D P P-1 D P P-1 D P = 32 vezes
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Uma aplicação: Calcular A32 A32 = A A A . . . A A A A 32 vezes
A32 = (P-1 D P) 32 = P-1 D P P-1 D P P-1 D P = P-1 D (P P-1 )D P P-1 D (P P-1 )D P = 32 vezes
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Uma aplicação: Calcular A32 A32 = A A A . . . A A A A 32 vezes
A32 = (P-1 D P) 32 = P-1 D P P-1 D P P-1 D P = P-1 D (P P-1 )D P P-1 D (P P-1 )D P = P-1 D I D P P-1 D I D P = 32 vezes
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Uma aplicação: Calcular A32 A32 = A A A . . . A A A A 32 vezes
A32 = (P-1 D P) 32 = P-1 D P P-1 D P P-1 D P = P-1 D (P P-1 )D P P-1 D (P P-1 )D P = P-1 D I D P P-1 D I D P = P-1 D32 P 32 vezes
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