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EE-240 Análise de Tendência: Regressão Linear
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Sir Francis Galton (1822 - 1911) Antropólogo e meteorologista britânico.
Regression towards mediocrity in hereditary stature. Journal of the Anthropological Institute, v. 15, pp , 1885. A altura dos filhos tende a ser aproximar da média da população (“regressão à média”). Atualmente, a palavra “regressão” não é mais empregada com esse sentido.
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Cenário considerado A tendência é significativa ?
Índice associado à degradação Tempo, ou Stress Acumulado A tendência é significativa ? Qual é o tempo predito de falha tf ?
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Cenário considerado A tendência é significativa ?
Índice associado à degradação Tempo, ou Stress Acumulado A tendência é significativa ? Qual é o tempo predito de falha tf ?
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Cenário considerado tf A tendência é significativa ?
Índice associado à degradação Tempo, ou Stress Acumulado tf A tendência é significativa ? Qual é o tempo predito de falha tf ?
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Cenário considerado tf
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Tempo Índice de degradação “Ruído” (discrepância com relação à reta) Coeficiente linear (“intercept”) Coeficiente angular (“slope”)
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Método de Mínimos Quadrados
Notação: Valores observados:
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A reta ajustada passa no centróide do conjunto de pontos (ti, yi):
Os resíduos ei têm média zero:
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Os resíduos não são correlacionados com o tempo:
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Exemplo
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Exemplo
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Exemplo
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Exemplo REGRESS Multiple linear regression using least squares.
b = REGRESS(y,X) returns the vector of regression coefficients, b, in the linear model y = Xb, (X is an nxp matrix, y is the nx1 vector of observations). >> t = [ ]' y = [ ]' X = [ones(5,1) t] b = regress(y,X) b = 0.8916 1.8554
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Formulação Matricial:
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>> t = [ ]' >> y = [ ]' >> X = [ones(5,1) t] >> inv(X'*X)*X'*y ans = 0.8916 1.8554
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Análise de Variância (.)2
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Dispersão dos valores de degradação observados
Sum of squares about the mean SYY
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Dispersão associada ao aumento da degradação (tendência)
Sum of squares due to regression SSReg
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Dispersão não explicada pelo modelo de tendência
Sum of squares about regression (Residual Sum of Squares RSS)
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Sum of Squares about the mean SYY =
RSS SSReg Sum of Squares about the mean SYY = Sum of Squares due to regression SSReg + Residual Sum of Squares RSS Um índice muito utilizado para avaliar a qualidade da reta ajustada é o coeficiente de determinação R:
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SYY RSS SSReg Se a reta ajustada passasse por todas as observações, a soma quadrática dos resíduos RSS seria zero (caso ideal). Se o modelo descrever adequadamente o comportamento dos dados, espera-se que RSS seja “pequeno”. Formalmente, para que a tendência linear seja considerada significativa, RSS deve ser significativamente menor que SSReg (teste de hipótese).
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Graus de Liberdade Se houvesse apenas n = 2 observações, o ajuste sempre seria perfeito (RSS = 0): Ajuste Excelente? Faltam graus de liberdade (“degrees of freedom” - df) para verificar a “qualidade” do modelo. Graus de liberdade (df) = No. observações (n) – No. parâmetros ajustados
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Mean Square = Sum of Squares / Degrees of Freedom
SYY RSS SSReg Somas de quadrados devem ser comparadas levando-se em conta os graus de liberdade associados. Para isso, podem-se usar médias quadráticas: Mean Square = Sum of Squares / Degrees of Freedom (MS = SS / df)
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SYY RSS SSReg
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A significância da regressão (isto é, da tendência linear da degradação observada) pode ser avaliada comparando-se MSReg e s2
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ei não correlacionado com ej (i j)
Assumindo: ei ~ N(0, s 2) ei não correlacionado com ej (i j) Pode-se mostrar que: Se b1 = 0 (i.e. se não houver tendência linear) a razão segue uma distribuição F com 1 e (n – 2) graus de liberdade:
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Teste F para Significância da Regressão
Hipótese nula H0: b1 = 0 (não há tendência linear) Hipótese alternativa H1: b1 0 Se F > Fcrit = F1–a(1, n – 2), pode-se rejeitar a hipótese nula com 100 (1 – a) % de confiança. Fcrit n = 11, a = 0.2 Fcrit = 1.91
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>> X = [ones(n,1) t]
>> b = inv(X'*X)*X'*y >> yhat = X*b >> ybar = mean(y) >> SYY = (y - ybar)'*(y-ybar) >> SSReg = (yhat -ybar)'*(yhat - ybar) >> R2 = SSReg/SYY >> MSReg = SSReg >> RSS = (y - yhat)'*(y - yhat) >> s2 = RSS/(n-2) >> F = MSReg/s2 >> alpha = 0.05 >> Fcrit = finv(1-alpha,1,n-2) >> p = 1 - fcdf(F,1,n-2)
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n = 11 SYY = 135 SSReg = MSReg = 109 R2 = SSReg/SYY = 0.81 RSS = 25 s2 = RSS/(n – 2) = 2.8 F = MSReg/s2 = 39 a = 0.05 Fcrit = 5.1 p = 1.5 Tendência Significativa
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n = 11 SYY = 3370 SSReg = MSReg = 849 R2 = SSReg / SYY = 0.25 RSS = 2520 s2 = RSS/(n – 2) = 280 F = MSReg/s2 = 3.0 a = 0.05 Fcrit = 5.1 p = 0.12 Tendência Não Significativa
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Intervalos de confiança para b0 e b1
Sob as hipóteses usuais, pode-se mostrar que: Estimativas não-polarizadas Variância aumenta com s2 e diminui com n e STT ou seja, a precisão das estimativas melhora com: i) redução no “ruído” ii) aumento da quantidade de dados coletados iii) aumento no timespan da coleta de dados
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Intervalos de confiança para b0 e b1
Sob as hipóteses usuais, pode-se mostrar que: Na prática, não se conhece o valor de s e, em seu lugar, pode-se usar a seguinte estimativa:
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Erro-padrão de b0 e b1:
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Empregando-se os erros-padrão de b0 e b1 (i. e
Empregando-se os erros-padrão de b0 e b1 (i.e. usando s no lugar de s), os intervalos de confiança são dados com base em valores críticos da distribuição T de Student. x p(x)
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Com 100 (1 – a) % de confiança, b0 e b1 encontram-se entre os seguintes limites:
>> s = sqrt(s2) >> tbar = mean(t) >> STT = (t - tbar)'*(t - tbar) >> sb0 = s*sqrt(1/n + tbar^2/STT) >> sb1 = s/sqrt(STT) >> Tcrit = tinv(1-alpha/2,n-2) >> b0_min = b0 - sb0*Tcrit >> b0_max = b0 + sb0*Tcrit >> b1_min = b1 - sb1*Tcrit >> b1_max = b1 + sb1*Tcrit
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Exemplo b0:[-0.1562, 4.1146] b1:[0.6369, 1.3588] b0 = 3 b1 = 0.8
Valores usados para gerar este exemplo: b0 = 3 b1 = 0.8
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Estimação do RUL Estimação do RUL Estimação do RUL Estimação do RUL Estimação do RUL
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Estimação do RUL tf estimado
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Estimação do RUL a = 0.05
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Intervalo de confiança
Estimação do RUL Intervalo de confiança para tf
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Muito Obrigado!
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